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% Vorlesung SS 2017
% Author: H. Kroha
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\begin{document}

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{\fancyplain{\scriptsize Prof.Dr.~H.~Kroha: Tests des Standardmodells der Teilchenphysik II,
SS 2017}%
{\scriptsize Prof.Dr.~H.~Kroha: Tests des Standardmodells der Teilchenphysik II, SS 2017}}

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\tabcolsep=1.5mm
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{large}
\Blue{\bf 3. Suche nach Erweiterungen\hfill\break
\hphantom{3. }des Standardmodells}
\end{large}
\vspace{3mm}

\begin{large}
\Blue{\bf 3.1 Ungel\"oste Fragen im Standardmodell}
\end{large}
\vspace{4mm}

\begin{enumerate}

\item \Red{Existiert das Higgs-Boson als elementares Teilchen?}

\Red{Dynamischer Mechanismus der Eichsymmetriebrechung?}

$\longrightarrow$ Substruktur des Higgs-Bosons mit neuer starker Wechselwirkung?

(Analogie zu den Cooper-Paaren (`Higgs-Feld') im Supraleiter.)

\item \Red{Ursache der Parit\"atsverletzung?}

z.B.\ durch spontane Symmetriebrechung in einer links-rechts-symmetrischen Theorie?

\item \Red{Erkl\"arung der Paarung der $SU(2)_L$-Dubletts von Quarks und Leptonen}
($\Longrightarrow$ Renormierbarkeit der schwachen WW!),

\Red{Verkn\"upfung zwischen elektrischer Ladung und Farb\-quanten\-zahl, zwischen Quarks
und Leptonen?}

$\longrightarrow$ Vereinheitlichung der Eichwechselwirkungen:\hfill\break
Grand Unified Theories (GUT)?
\clearpage

\item \Red{Erkl\"arung der Quantisierung der elektrischen Ladung:}

$Q_e = -Q_p$ mit einer Genauigkeit von $10^{-21}$.

Warum ist $Q_d = {1\over 3}Q_e$ und $Q_\nu + Q_e +3Q_u + 3Q_d =0$?

$\longrightarrow$ Vereinheitlichung der Eichwechselwirkungen: GUTs.

\item \Red{Warum nur 3 Generationen von Quarks und Leptonen?}\hfill\break
(Minimum f\"ur CP-Verletzung durch eine komplexe Mischungsmatrix.)

\Red{Hierarchie der Fermion-Massen und -Mischungswinkel.}

$\longrightarrow$ Substruktur der Quarks und Leptonen und evtl.\ der Eichbosonen mit
neuer starker (Eich-) Wechselwirkung?

\item \Red{Warum sind die Neutrinomassen so klein?}

$\longrightarrow$ Vereinheitlichung der Eichwechselwirkungen, GUTs.

\item \Red{Ursprung der CP-Verletzung, die f\"ur die Existenz von Materie 
im Universum (Baryon-Antibaryon-Asymmetrie) notwendig ist?}\hfill\break
(Sacharov 1967).

Der Effekt der CP-Verletzung im Standardmodell allein ist daf\"ur zu klein.

$\longrightarrow$ Vereinheitlichung der Eichwechselwirkungen, GUTs.
\vfill\clearpage

\item \Red{25 freie Parameter des Standardmodells:}

\begin{itemize}

\item 3 Eichkopplungskonstanten: $e$, $g_w$, $g_s$ oder $\alpha$, $\sin^2\theta_W$, $\alpha_s$
($g=e/\sin\theta_W$, $g^\prime = e/\cos\theta_W$).

\item 6 Lepton- und 6 Quark-Massen (Yukawa-Kopplungen).

\item Je 4 Parameter der Mischungsmatrizen f\"ur Quarks und Leptonen.

\item Masse und Selbstkopplungskonstante des Higgs-Bosons (allgemein: Parameter des Higgs-Potentials
bzw.\ des elektroschwachen Phasen\"ubergangs).

\end{itemize}

$\longrightarrow$ Substruktur der Quarks und Leptonen und/oder GUTs.
\vspace{-4mm}

\item \Red{Stabilisierung der Higgsboson-Masse bei $\le 1~TeV$ unter Strahlungskorrekturen?}

$\longrightarrow$ Supersymmetrie zwischen Fermionen und Bosonen.
\vspace{-4mm}

\item \Red{Ursprung der `Dunklen Materie' im Weltall?}

$99\%$ der Materie im Universum ist nicht sichtbar!

$\longrightarrow$ Supersymmetrie zwischen Fermionen und Bosonen.
\vspace{-4mm}

\item \Red{Ursprung der dunklen Energie?}

Warum ist der Effekt so klein?

\item \Red{Quantentheorie der Gravitation?}

Verbindung der Gravitation mit den anderen fundamentalen Wechselwirkungen?

$\longrightarrow$ Supersymmetrie, Superstrings?                           
                                                               
\end{enumerate}
\vfill\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{normalsize}
\Blue{\bf Materiezusammensetzung des Universums:}
\end{normalsize}
\vspace{3mm}

\Red{$\Omega =$ Energiedichte/kritische Dichte}
\vspace{3mm}

Beobachtungen (Pr\"azisionsmessungen!):
\vspace{-4mm}

\begin{itemize}

\item Isotropie der kosmischen Mikrowellen-Hinter\-grund\-strahlung (COBE, WMAP Satelliten)\hfill\break
$\Longrightarrow$ Inflationsphase (exponentielle Expansion) im fr\"uhen
Universum \Red{$\Longrightarrow\Omega_{\mathrm tot} = 1$}\hfill\break
(flaches Universum, Grenzfall zwischen offenem und geschlossenem Universum).

\begin{center}
\mbox{\epsfig{figure=/.at/wwwatlas/ftp/outgoing/vorlesung/plots/cmb.eps,width=0.75\textwidth}}
\end{center}
\end{itemize}
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}

\begin{itemize}
\item \Red{Materiedichte $\Omega_M\approx 30\%$}\hfill\break
(Gravitationseffekte: Galaxienbewegung, Gravitationslinsen, langreichweitige
Struktur des Universums).

\item Davon \Red{baryonische Materie (Elemente): $\Omega_B\approx 5\%$} (Nukleosynthese).

\item Davon \Red{sichtbare Materie (Sterne): $\Omega_{\mathrm lum}\approx 0.4\%$.}

\item[\Blue{$\Longrightarrow$}] Nicht-baryonische, \Blue{``dunkle Materie'': $\Omega_{DM}\approx 25\%$}\hfill\break
(massive Neutrinos, Axionen, SUSY-Teilchen,...?).

\item \Blue{``Dunkle Energie'': $\Omega_\Lambda\approx 70\%$}\hfill\break
(entspricht einer positiven kosmologischen Konstanten $\Lambda$, globalem Druck,
``Antigravitation'', in der Allg.\ Relativit\"atstheorie)
zur Erkl\"arung der beobachteten beschleunigten
Expansion des Universums (Supernova-Rotverschiebung).\hfill\break
Ursprung in der Vakuumenergie der Quantenfeldtheorie oder der Stringtheorie:
ergibt etwa \Red{120--128 Gr\"o\ss enordnungen} zu gro\ss en Wert! Erkl\"arung?
\end{itemize}

\begin{center}
\mbox{\epsfig{figure=/.at/wwwatlas/ftp/outgoing/vorlesung/plots/dark_energy.eps,width=0.55\textwidth}}
\end{center}
\vspace{-200mm}

\end{figure}
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}
\begin{center}

\mbox{\epsfig{figure=/.at/wwwatlas/ftp/outgoing/vorlesung/plots/WIMP_search_CRESST_2008.eps,
width=1.00\textwidth}}

\mbox{\epsfig{figure=/.at/wwwatlas/ftp/outgoing/vorlesung/plots/WIMP_search_2008.eps,
width=1.00\textwidth}}

\end{center}
\vspace{-200mm}

\end{figure}
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}
\begin{center}
\vspace{-70mm}

\mbox{\hspace{-10mm}\epsfig{figure=/.at/wwwatlas/ftp/outgoing/vorlesung/plots/dm02_2.eps,
angle=0.5,width=1.25\textwidth}}

\end{center}
\vspace{-200mm}

\end{figure}
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{large}
\Blue{\bf 3.2 Vereinheitlichung der Wechselwirkungen}
\end{large}
\vspace{4mm}

Vereinheitlichung der Eichwechselwirkungen des Standard\-modells durch Einbettung
in eine gr\"o\ss ere einfache Eich\-gruppe $G$ mit einer einzigen Kopplungskonstanten
\Red{(Grand Unified Theories, GUTs):}
\vspace{-5mm}

\textRed
\[ G \supset SU(3)_C \otimes SU(2)_L \otimes U(1)_Y.\]
\textBlack
\vspace{-5mm}

Das Standardmodell ist eine effektive Theorie bei niedrigen Energien nach spontaner
Symmetriebrechung der Eichsymmetrien:
\vspace{-5mm}

\textRed
\[ G\stackrel{M_{GUT}}{\longrightarrow} SU(3)_C \otimes SU(2)_L \otimes U(1)_Y
\stackrel{M_{\mathrm el.schw.}}{\longrightarrow} SU(3)_C \otimes U(1)_Q.\]
\textBlack
\vspace{-5mm}

Die \Red{Vereinheitlichungsskala,} bei der alle Wechselwirkungen gleich stark werden
(gemeinsame Kopplungskonstante) kann im Standardmodell berechnet werden: 
\Red{$M_{GUT}\approx 10^{15}$~GeV.}

(vergleiche die Skala der elektroschwachen Symmetriebrechung: $M_{\mathrm el.schw.}\approx {v\over\sqrt{2}}\approx M_W$).
\vfill\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{large}
\Blue{{\bf 3.2.1 Das} {\boldmath $SU(5)$}{\bf -Modell:}}
\end{large}
\vspace{5mm}

Die kleinste einfache Lie-Gruppe, die die Eichgruppen des Standardmodells als Untergruppen enth\"alt
ist $SU(5)$,

mit \Red{$n^2-1 = 24$ Generatoren $T^a$} und \Red{24 Eichfeldern $V^a_\mu (x)$ ($a=1,...,24$),} von denen
nur 12 schon im Standardmodell enthalten sind (8 Gluonen, $W^\pm$, $Z^0$, $\gamma$):

\vspace{-15mm}
\textRed
\begin{eqnarray*}
{\cal L}_{SU(5)} &=& -{1\over 4} F_{\mu\nu}^a F^{\mu\nu a} +
\overline{\psi} i\gamma^\mu D_\mu \psi_f;  \\
\\
D_\mu &=& \partial_\mu -ig_5 T^a V_\mu^a .
\end{eqnarray*}
\textBlack

\vspace{-10mm}
Die fundamentale Darstellung hat die Dimension $n=5$ und ist komplex: 
d.h.\ es gibt zwei verschiedene ${\boldmath 5}$, ${\boldmath 5}^\ast$.

Um alle \Red{15 Fermion-Zust\"ande der ersten Generation des SM} in SU(5)-Multipletts
unterzubringen, wird zus\"atzlich die
10-dim.\ irreduzible Darstellung ${\boldmath 10}$ ben\"otigt:

d.h.\ reduzible Darstellung der SM-Teilchen ${\boldmath 5}^\ast + {\boldmath 10}$ 
(zusammen Renormierbarkeit in der $SU(5)$-Eichtheorie).
\vfill
\clearpage

Zerlegung in irreduzible \Red{($SU(3)_C$,$SU(2)_L$)-Darstellungen}
ergibt ($i=r,g,b$):

\textRed
\vspace{-10mm}
\[ {\boldmath 5}_L =
\underbrace{({\boldmath 3}, {\boldmath 1})}_{\overline{d}_{i L}}
+ \underbrace{({\boldmath 1}, {\boldmath 2})}_{(\nu_e , e^-)_L}\;\; {\mathrm und}\;\;
{\boldmath 5}_R^\ast = \underbrace{({\boldmath 3}^\ast, {\boldmath 1})}_{d_{i R}}
+ \underbrace{({\boldmath 1}, {\boldmath 2})}_{(\overline{\nu}_e , e^+)_R}.\]

\vspace{-19mm}
\[ {\boldmath 10}_L =
\underbrace{({\boldmath 3}, {\boldmath 2})}_{(u_i,d_i)_L}
+ \underbrace{({\boldmath 3}^\ast , {\boldmath 1})}_{\overline{u}_{i L}}
+ \underbrace{({\boldmath 1}, {\boldmath 1})}_{e^+_L} .\]
\textBlack

\vfill\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Das fundamentale $SU(5)$-Multiplett enth\"alt die Zust\"ande:

\textRed
\[ \begin{array}{lccc}
& Q & Y & I^0 \\
{\boldmath 5}:\;\; 
{\left( \begin{array}{c} \nu_e \\ e^- \\ \overline{d}_r \\ \overline{d}_g \\ \overline{d}_b \end{array} \right)}_L &
\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ {1\over 3} \\ {1\over 3} \\ {1\over 3} \end{array} &
\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ {2\over 3} \\ {2\over 3} \\ {2\over 3} \end{array} &
\begin{array}{c} +{1\over 2} \\ -{1\over 2} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \\
\end{array} \]
\textBlack

$\Longrightarrow$ \Red{Leptonen und Quarks in Multipletts der Eichgruppe}\hfill\break
\hphantom{$\Longrightarrow$} \Red{vereinigt}

(mit gleichen Helizit\"aten: Drehimpulserhaltung, $[\vec{J}, T_a]=0$).

$\Longrightarrow$ da f\"ur $SU(n)$-Generatoren, wie $Q$, die Spur $\equiv 0$, gilt z.B.\ in der
${\boldmath 5}$-Darstellung:

\vspace{-10mm}
\textRed
\[ Q(\nu_e ) + Q(e^-) + 3\cdot Q (\overline d) = 0 -1 + 3\cdot {1\over 3} = 0, \]
\textBlack
\vspace{-10mm}

d.h.\ die $SU(5)$-Symmetrie verlangt \Red{$Q(\overline{d}) = +{1\over 3}$~!}

\Red{Verkn\"upfung zwischen drittelzahligen Quarkladungen und Zahl der Farben.}
Grantiert Anomaliefreiheit (Renormierbarkeit) des Standardmodells.

Erkl\"arung f\"ur die \Red{exakte Ladungsquantisierung:}

$Q(e^-) \equiv - Q(p)$ (neutrale Atome).
\vfill\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}
$\Longrightarrow$ \Red{Kein Platz f\"ur rechtsh\"andige Neutrinos; d.h.\ Vorhersage masseloser 
Neutrinos.}

Die $SU(5)$-Eichbosonen f\"ullen die 24-dimensionale adjungierte Darstellung,
ausgedr\"uckt durch die Darstellungen der Untergruppen \Red{$(SU_C(3), SU_L(2))$}:

\textRed
\[ {\boldmath 24} = \underbrace{({\boldmath 8}, {\boldmath 1})}_{\mathrm Gluonen} +
\underbrace{\underbrace{({\boldmath 1}, {\boldmath 3})}_{W_{1,2,3}} + 
\underbrace{({\boldmath 1},{\boldmath 1})}_{B}}_{W^\pm, Z^0, \gamma} +
\underbrace{({\boldmath 3}^\ast ,{\boldmath 2})}_{(X,Y)} +
\underbrace{({\boldmath 3},{\boldmath 2})}_{(\overline{X},\overline{Y})}.\]
\textBlack
\vspace{-10mm}

$\Longrightarrow$ \Red{12 neue schwere Eichbosonen $X$, $Y$} ($SU(2)$-Dublett) und ihre Antiteilchen
mit elektrischen Ladungen $Q_X = +{4\over 3}$ und
$Q_Y = +{1\over 3}$ in jeweils 3 Farben und Massen $M_{X,Y}\approx M_{GUT}$
nach $SU(5)$-Brechung.

Vermitteln \"Uberg\"ange zwischen Quarks und Leptonen innerhalb der $SU(5)$-Multipletts, 
tragen also Lepton und Quarkeigenschaften (`Leptoquarks'):

\begin{center}
\mbox{\epsfig{figure=/.at/wwwatlas/ftp/outgoing/vorlesung/plots/leptoquarks.eps,
width=1.00\textwidth}}
\end{center}
\vspace{-200mm}

\end{figure}
\vfill\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}

Dies f\"uhrt u.a.\ zur Vorhersage des Protonzerfalls mit einer Lebensdauer von $\approx 10^{31}$ Jahren
(f\"ur SU(5)), was inzwischen experimentell ausgeschlossen ist (Kamiokande-, IMB-, Mont Blanc-Experimente
in den 1980ger Jahren mit $\tau_p > 10^{31}$ Jahren):
\vspace{-5mm}

\begin{center}
\mbox{\epsfig{figure=/.at/wwwatlas/ftp/outgoing/vorlesung/plots/pdecay.eps,
width=1.00\textwidth}}
\end{center}
\vspace{-8mm}

\[ \Gamma (p\to e^+\pi^0 ) \approx {\alpha_5^2 m_p^5\over M_X^4}\approx {\alpha_5^2 m_p^5\over M_{GUT}^4} \]
\vspace{-9mm}

(wie Myonzerfall $\mu^-\to e^0\overline{\nu}_e\nu_\mu$).
\vspace{2mm}

\Red{$\Longrightarrow \tau_p = {1\over\Gamma_p}\approx 10^{31}$~Jahre f\"ur $M_{GUT}\approx 10^{15}$~GeV.}
\vspace{-200mm}

\end{figure}
\vfill\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Alternative einfache GUT Lie-Gruppen mit der Vorhersage rechtsh\"andiger und 
damit potentiell massiver Neutrinos:

\begin{itemize}
\item $SO(10)=E_5\supset SU(5)$:\hfill\break 
16-dim.\ fundamentale irreduzible Darstellung (Leptonen und Quarks) und 45 Eichbosonen (adjungierte Darstellung).

\item $E_6\supset SO(10)$:\hfill\break 
27-dim.\ fundmentale Darstellung und 78 Eichbosonen.                                                                  
\end{itemize}

Mit $SU(5)=E_4$ sind dies die einzigen nat\"urlichen Kandidaten
mit komplexen Darstellungen f\"ur separate Multipletts f\"ur links- bzw. rechtsh\"andige Fermion- und 
Antifermionzust\"ande, so da\ss\ P-Verletzung bei Drehimpulserhaltung m\"oglich ist (immer noch ohne
fundamentalere Erkl\"arung als im Standardmodell).
\vspace{5mm}

\Red{Spontane Brechung der GUT-Eichsymmetrien:}

\begin{itemize}
\item[$\Longrightarrow$] Zahlreiche neue, schwere Higgs-Bosonen.

\item[$\Longrightarrow$] Weitere Phasen\"uberg\"ange im fr\"uhen Universum
bei $kT\approx M_{GUT}$.

Motivation f\"ur das Modell des inflation\"aren Universums: exponentielle Expansion des
neuen Vakuums beim Phasen\"ubergang mit spontaner Symmetriebrechung.
\end{itemize}

\vfill\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{sidewaysfigure}
\vspace{35mm}

\begin{center}
\Blue{\large\bf Entwicklung des Universums}

\mbox{\epsfig{figure=/home/pcatlas17/kroha/vorlesung/time.eps,width=\textheight}}
\end{center}

\end{sidewaysfigure}
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}

\begin{center}
\Blue{\large\bf Teilchenphysik und Kosmologie}

\mbox{\epsfig{figure=/home/pcatlas17/kroha/vorlesung/universe.eps,width=0.93\textwidth}}
\end{center}

\vspace{-200mm}

\end{figure}
\clearpage                                                                                                                          
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{large}
\Blue{\bf 3.2.2 Vereinheitlichung der Kopplungsst\"arken}
\end{large}
\vspace{5mm}

Mit den neutralen $U(1)_Y$- und den $SU_L (2)$-Eichfeldern

\vspace{-20mm}
\begin{eqnarray*}
B^\mu &=& \hphantom{-} A^\mu \cos\theta_W + Z^{\mu}\sin\theta_W , \\
W_3^\mu &=& - A^\mu \sin\theta_W + Z^{\mu}\cos\theta_W
\end{eqnarray*}

\vspace{-10mm}
gilt f\"ur die kovariante Ableitung der $SU(5)$-Eichtheorie 
mit 24 Eichfeldern $V_a^\mu$ und der universellen Eichkopplungskonstanten $g_5$:

\vspace{-15mm}
\begin{eqnarray*}
D^\mu &=& \partial^\mu -ig_5 T_a V_a^\mu = \partial^\mu -ig_5 [T_1 B^\mu + T_3 W_3^\mu + ...] \\
&=& \partial^\mu -ig_5 [T_1\cos\theta_W A^\mu - T_3\sin\theta_W A^\mu + ...] ,
\end{eqnarray*}

\vspace{-25mm}
\begin{eqnarray*}
{\mathrm d.h.}\;\; -eQ &=& -g_5 T_3 \sin\theta_W + g_5 T_1\cos\theta_W \\
&=& -g_5\sin\theta_W (T_3 -\cot\theta_W T_1). \\
\end{eqnarray*}

\vspace{-30mm}
\textRed
\begin{eqnarray*}
\Longrightarrow Q &=& T_3 + cT_1 = T_3 - \cot\theta_W T_1  \\ [2mm]
\Black{\mathrm mit}\;\;\; c &=& -\cot\theta_W\;\;\;  e = g_5\sin\theta_W.
\end{eqnarray*}
\textBlack

\vspace{-10mm}
Mit $Q = I_3 + Y/2$ (Standardmodell) und $T_3 = I_3$, $Y/2 = cT_1$ und

\vspace{-20mm}
\begin{eqnarray*}
g^\prime\overline{\psi}\gamma^\mu {Y\over 2} \psi B_\mu &=& g^\prime\overline{\psi} \gamma^\mu (Q-T_3)\psi B_\mu \\
\equiv g_5\overline{\psi}\gamma^\mu T_1 \psi B_\mu &=& g_5 \overline{\psi} \gamma^\mu {(Q-T_3)\over c} \psi B_\mu
\end{eqnarray*}

\vspace{-25mm}
\textRed
\begin{eqnarray*}
\Longrightarrow g_5 &=& c g^\prime \\
\alpha_5 &=& \alpha_1 (M_{GUT}^2) =\cot^2\theta_W \alpha^\prime (M_{GUT}^2);\;\; 
\Black{\alpha^\prime\equiv {g^{\prime 2}\over 4\pi}.}
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vfill\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}

Vereinheitlichung der elektroschwachen und starken Wechselwirkungen bei der GUT-Skala $M_{GUT}$
in der $SU(5)$-Theorie bedeutet:

\textRed
\[ \underbrace{\alpha_1 (M_{GUT}^2)}_{U(1)_{T_1}}
= \underbrace{\alpha_2 (M_{GUT}^2)}_{SU(2)_L} = \underbrace{\alpha_3 (M_{GUT}^2)}_{SU(3)_C}
= \alpha_5 = {g_5^2\over 4\pi}. \]
\textBlack

M\"oglich wegen der unterschiedlichen $q^2$-Abh\"angigkeiten der gemessenen Kopplungen:

\textRed
$\alpha (q^2) = {e^2\over 4\pi}$ und damit $\alpha_1 (q^2) = \alpha (q^2)/\sin^2\theta_W(q^2)$ steigen,
$\alpha_W (q^2) = {g^2\over 4\pi} = \alpha_2 (q^2)$ und
$\alpha_s (q^2) = \alpha_3 (q^2)$ fallen (asymthotische Freiheit) mit zunehmendem $q^2$.
\textBlack

\begin{center}
\mbox{\epsfig{figure=/.at/wwwatlas/ftp/outgoing/vorlesung/plots/running_gut.eps,width=0.70\textwidth}}
\end{center}
\vspace{-200mm}

\end{figure}
\vfill\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

F\"ur jede Darstellung $D$ einer einfachen Lie-Gruppe mit Generatoren $T_a$ gilt (vergleiche Spin!):

\vspace{-10mm}
\[ Sp_D T_aT_b = N_D \delta_{ab}. \]

\vspace{-20mm}
\[\Longrightarrow Sp Q^2 = Sp (T_3 + cT_1) = Sp T_3^2 + c^2 Sp T_1^2 = (1+c^2) Sp T_3^2 \]

\vspace{-10mm}
mit $Sp T_1T_3 =0$ und $Sp T_1^2 = Sp T_3^2 = N_D$.

Mit $Sp_5 Q^2 = 0 + 1 + 3\cdot {1\over 9} = {4\over 3}$ und

$Sp_5 T_3^2 = {1\over 4} + {1\over 4} + 0 + 0 + 0 = {1\over 2}$ gilt: 

\[ \Red{c^2 = {5\over 3}= \cot^2\theta_W}.\]

$\Longrightarrow$ \Red{Vorhersage} f\"ur den Weinberg-Winkel bei $q^2=M_{GUT}$:

\textRed
\[ \sin^2\theta_W (M_{GUT}^2) = {1\over 1+c^2} = {3\over 8} = 0.375. \]
\textBlack
\vfill\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}
\vspace{-10mm}

\begin{center}
\mbox{\hspace{-10mm}\epsfig{figure=/.at/wwwatlas/ftp/outgoing/vorlesung/plots/running_calc.eps,width=1.13\textwidth}}
\end{center}
\vspace{-200mm}

\end{figure}
\clearpage                                                                                                                          
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Ebenso:
\vspace{-10mm}

\[ \underbrace{{1\over \alpha_3 (q_0^2)} 
- {1\over \alpha_1 (q_0^2)}}_{={1\over \alpha_3 (q_0^2)} 
- {3\over 5}\biggl ( {1\over \alpha (q_0^2)} - {1\over\alpha_2 (q_0^2 )}\Biggr ) }
= -{11\over 4\pi} \ln \Biggl ({M_{GUT}^2\over q_0^2}\biggr ) \]
\vspace{-5mm}

\[ {\mathrm mit}\;\;\; {1\over\alpha_1} = {1\over c^2 \alpha^\prime} = {3\over 5}\cdot {1\over\alpha^\prime} \]
\vspace{-5mm}

\[ {\mathrm und}\;\;\; {1\over \alpha} = {1\over \alpha^\prime} + {1\over\alpha_2},\;\;\; {\mathrm da}\;\;\;
e^2 = {g^2 g^{\prime 2}\over g^2 + g^{\prime 2}}.\]
\vspace{-2mm}

\[ \Longrightarrow {8\over 3}\cdot {1\over \alpha_3 (q_0^2)} - {1\over \alpha (q_0^2)} = - {11\over 2\pi}
\ln \Biggl ({M_{GUT}^2\over q_0^2}\Biggr ). \]

Mit $q_0^2=M_Z^2$, $\alpha_3 (M_Z^2)=\alpha_s(M_Z^2) = 0.119$ und\hfill\break
$\alpha (M_Z^2) = 1/128.9$ Vorhersage f\"ur die GUT-Skala m\"oglich:
\vspace{-12mm}

\begin{eqnarray*}
\ln \Biggl ({M_{GUT}^2\over M_Z^2}\Biggr ) &=& 30.4\;\;\; {\mathrm und}\\ [3mm]
\Red{M_{GUT}} &\Red{=}& \Red{1.5\cdot 10^{15}~{\mathrm GeV}} \ll M_{\mathrm Planck} \approx 10^{19}~{\mathrm GeV}.
\end{eqnarray*}
\vfill\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{large}
\Blue{{\bf 3.2.3 Vorhersage von} {\boldmath $\sin^2\theta_W (M_W^2)$:}}
\end{large}

\vspace{-8mm}
\[ \sin^2\theta_W = {g_1^2\over g_1^2 + g_2^2} = {\alpha_1\over \alpha_1 +\alpha_2} = 
{1\over 1+{\alpha_2 (q^2)\over \alpha_1 (q^2)}}.\]

\vspace{-18mm}
\[ \sin^2\theta_W (M_{GUT}^2) = {1\over 1 + c^2} = {3\over 8}\; .\]

\vspace{-10mm}
R\"uckentwicklung von $M_{GUT}$:
\vspace{-16mm}

\begin{eqnarray*}
&.&{1\over \alpha^\prime (M_W^2)} = {5\over 3} {1\over \alpha_1 (M_W^2)} \\
&=& {5\over 3} \Biggl [
{1\over \alpha_1 (M_{GUT}^2)} + {b_1^\prime\over 4\pi} \ln \Biggl ({M_W^2\over M_{GUT}^2}\Biggr ) \Biggr ]\\
&\equiv& {5 \over 3} \Biggl [
{1\over \alpha_2 (M_{GUT}^2)}\hspace{-1mm}-\hspace{-1mm} {4 N_G\over 12\pi} \ln \Biggl ({M_W^2\over M_{GUT}^2}\Biggr ) \Biggr ]\\
&=& {5 \over 3} \Biggl [ {1\over \alpha_2 (M_W^2)}
+ {22- 4 N_G\over 12\pi} \ln \Biggl ({M_{GUT}^2\over M_W^2}\Biggr ) 
- {4 N_G\over 12\pi} \ln \Biggl ({M_W^2\over M_{GUT}^2}\Biggr ) \Biggr ] \\
&=& {5 \over 3} \Biggl [{1\over \alpha_2 (M_W^2)} - {11\over 6\pi} \ln \Biggl ({M_W^2\over M_{GUT}^2}
\Biggr )\Biggr ]. \\
\end{eqnarray*}
\vfill\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{eqnarray*}
\Longrightarrow {\alpha_2\over \alpha_1} (M_W^2) &=& {5\over 3}\Biggl [1-{11\alpha_2(M_W^2)\over 6\pi}
\ln \Biggl ({M_W^2\over M_{GUT}^2}\Biggr ) \Biggr ] \\
&=& {5\over 3}\Biggl [1-{11 G_F M_W^2\over 3\pi^2\sqrt{2}}
\ln \Biggl ({M_W^2\over M_{GUT}^2}\Biggr ) \Biggr ] = 3.79, 
\end{eqnarray*}

\vspace{-5mm}
unabh\"angig von $N_G$. Mit $M_W = 80.33$~GeV ist

\vspace{-5mm}

\textRed
\[\Longrightarrow \sin^2\theta_W (M_W^2) =
{1\over 1+{\alpha_2\over \alpha_1} (M_W^2)} = 0.209. \]
\textBlack
\vfill
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{large}
\Blue{\bf 3.3 Neue Symmetrien: Supersymmetrie}
\end{large}
\vspace{4mm}

Maximale nicht-triviale Erweiterung der Raum-Zeit-Symmetrien (sog.\ Poincar\'e-Gruppe):

Die Poincar\'e-Gruppe P besitzt die Generatoren:

\Red{$P_\mu$: Raum-Zeit-Translationen} und

\Red{$M_{\mu\nu}$:} antisymmetrischer Tensor mit den unabh\"angigen Komponenten:

$\vec{J} = (M_{23}, M_{31}, M_{12})$ und $\vec{K}=(M_{01}, M_{02}, M_{03})$, wobei

\Red{$J_i:$ Rotation um die $i$-Achse; $K_i:$ Lorentz-Boost in $i$-Richtung} ($i=x,y,z$).

Einzige konsistente Vereinigung der Raum-Zeit-Symmetrien mit einer internen
Symmetriegruppe G, die nicht einfach ein direktes Produkt $P\otimes G$ ist
(Coleman-Mandula-Theorem, 1967),

durch Einf\"uhrung neuer \Red{anti-kommutierender} Generatoren $Q_\alpha$ ($\alpha=1,...,4$)
mit Spinor-Transformationseigenschaften (SUSY-Generatoren) mit
\vspace{-15mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
\{Q_\alpha , Q_\beta\} &\equiv& Q_\alpha Q_\beta + Q_\beta Q_\alpha = \{\overline{Q}_\alpha, \overline{Q}_\beta\} = 0; \\
\{Q_\alpha , \overline{Q}_\beta\} &=& 2 (\gamma^\mu )_{\alpha \beta} P_\mu ; \\
\bigl [Q_\alpha , P_\mu \bigr ] &=& 0; \\
\bigl [Q_\alpha , M_{\mu\nu} \bigr ] &=& {1\over 4}i(\gamma^\mu\gamma^\nu - \gamma^\nu\gamma^\mu )_{\alpha\beta} Q_\beta ;
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vfill\clearpage

Die SUSY-Generatoren haben folgende Wirkung auf Fermion (F)- und Boson (B)-Felder:
\vspace{-10mm}

\textRed
\[ Q |F> = |B>;\;\;\; Q|B> = |F>; \]
\textBlack

\vspace{-10mm}
wobei \Red{$[B(x), B(x^\prime )] =0$} und \Red{$\{F(x),F(x^\prime )\}=0$.}

$\Longrightarrow$ Supersymmetrietransformationen verbinden Fermionen
mit Bosonen.

SUSY-Generatoren $Q$, $\overline{Q}$ \"andern den Spin um $\pm {1\over 2}$.

$\Longrightarrow$ Super-Multipletts enthalten Fermionen und Bosonen mit folgender Spin-Zuordnung:

\vspace{-15mm}
\textRed
\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{rr} {\mathrm Fermion} & {1\over 2} \\ {\mathrm s-Fermion} & 0 \\ \end{array}\right)&,&\;
\left(\begin{array}{ll} {\mathrm Eichboson} & 1 \\ {\mathrm Gaugino} & {1\over 2} \\ \end{array}\right), \\
\left(\begin{array}{ll} {\mathrm Higgs-Boson} & 0 \\ {\mathrm Higgsino} & {1\over 2} \\ \end{array}\right)&,&\;
\left(\begin{array}{ll} {\mathrm Graviton} & 2 \\ {\mathrm Gravitino} & {3\over 2} \\ \end{array}\right).
\end{eqnarray*}
\textBlack

\vspace{-10mm}
Die Superpartner in den SUSY-Multipletts haben gleiche Massen und Eichladungen.

D.h.\ Superpartner-Zuordnungen unter den bekannten Teilchen des Standardmodells sind nicht m\"oglich,
\Red{Erweiterung des Teilchenspektrums um neue SUSY-Teilchen ist notwendig.}
\vfill\clearpage

Da bisher keine Superpartner der Teilchen des Standardmodells entdeckt wurden, m\"ussen diese
gr\"o\ss ere Massen \Red{$\le 1-2$~TeV} besitzen, d.h.\ \Red{die Supersymmetrie ist
gebrochen.}\hfill\break
Der Mechanismus daf\"ur ist unklar (spontane globale SUSY-Brechung in einem verborgenen, nur  
gravitativ mit den Standardmodellteilchen wechselwirkenden Sektor?, spontane lokale SUSY-Brechung?),
so da\ss\ Vorhersagen f\"ur die Superpartnermassen
nicht oder nur unter vereinfachenden Annahmen m\"oglich sind.
\vfill\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\mbox{\epsfig{figure=/.at/wwwatlas/ftp/outgoing/vorlesung/plots/Supersymmetrie.eps,width=1.00\textwidth}}
\vfill\clearpage


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{large}
\Blue{\bf 3.3.1 Supersymmetrische Erweiterung des\hfill\break
\hphantom{3.3.1} Standardmodells}
\end{large}
\vspace{4mm}

Hinzuf\"ugen der Fermion- bzw.\ Boson-Terme der Superpartner in der Lagrange-Funktion mit den
gleichen Eichkopplungen wie im Standardmodell.

Supersymmetrie mit Erhaltung der sog.\ R-Parit\"at $R=(-1)^{3(B-L)+2S}$ ($R=+1$ f\"ur bekannte
Teilchen, $R=-1$ f\"ur Sup[erpartner) f\"uhrt zu folgenden Erhaltungss\"atzen:

\begin{enumerate}

\item Superpartner werden, ausgehend von SM-Teilchen, in Paaren erzeugt.

\item SUSY-Teilchen zerfallen schnell unter Emission eines Superpartners bis zum LSP.

\item Der \Red{leichteste Superpartner (LSP)} ist neutral und stabil, d.h.\ nicht durch Zerf\"alle
in Standardmodellteilchen im Detektor nachweisbar.

Keine Wechselwirkung des LSP im Detektor (Wirkungs\-quer\-schnitt so klein wie f\"ur Neutrinos), da nur
unter Produktion schwerer SUSY-Partner.

\end{enumerate}

\vfill
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}

\begin{normalsize}
\Blue{\bf Neue Wechselwirkungsprozesse im supersymmetrischen Standardmodell:}
\end{normalsize}
\vspace{-3mm}

\begin{center}
\mbox{\epsfig{figure=/.at/wwwatlas/ftp/outgoing/vorlesung/plots/susy_interactions.eps,width=1.00\textwidth}}
\mbox{\epsfig{figure=/.at/wwwatlas/ftp/outgoing/vorlesung/plots/susy_int_1.eps,width=0.89\textwidth}}
\end{center}
\vspace{-200mm}

\end{figure}
\vfill\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}

\begin{center}
\mbox{\epsfig{figure=/.at/wwwatlas/ftp/outgoing/vorlesung/plots/susy_int_2.eps,width=1.00\textwidth}}
\mbox{\epsfig{figure=/.at/wwwatlas/ftp/outgoing/vorlesung/plots/susy_int_3.eps,width=1.00\textwidth}}
\end{center}
\vspace{-200mm}

\end{figure}
\vfill\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
In \Red{supersymmetrischen Erweiterungen des Standardmodells (SM)} wird f\"ur die elektroschwache Symmetriebrechung
eine gerade Anzahl von komplexen skalaren Higgs-Dubletts, also \Red{mindestens 2 Higgs-Dubletts}, separat
f\"ur up- und down-Fermionen und daher mit entgegengesetzter Hyperladung,
ben\"otigt zur Aufhebung der von Spin-${1\over 2}$ Higgsinos verursachten Anomalien.

In der \Red{(minimalen supersymmetrischen Erweiterung des Standardmodells (MSSM)} verbleiben
nach der spontanen Symmetriebrechung \Red{5 massive skalare Higgs-Bosonen}:

\begin{itemize}
\item $h^0$, $H^0$ (skalar, $CP=+1$),
\item $A^0$ (pseudoskalar, $CP=-1$) und 
\item $H^\pm$.
\end{itemize}
\vspace{-5mm}

mit zwei Vakuumerwartungswerten $v_1$ und $v_2$.

$\tan\beta = {v_2\over v_1}$ und $M_{A^0}$ bestimmen die Zerfallsraten aller Higgs-Teilchen.
Die dominierenden Zerfallskan\"ale im MSSM unterscheiden sich i.a.\ von denen im SM.

\vfill
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Die \Red{elektroschwache Symetriebrechung} wird durch SUSY-Strahlungskorrekturen
erzeugt:
der in Abh\"angigkeit von der Energie laufende Higgs-Massenparameter $\mu^2$ nimmt bei
niedrigen Energien $\approx M_W$ \Red{negative Werte} an.

\begin{center}
\mbox{\epsfig{figure=/.at/wwwatlas/ftp/outgoing/vorlesung/plots/susy_param_running.eps,width=1.00\textwidth}}
\end{center}

Begrenzung f\"ur das leichteste MSSM-Higgs-Boson: \Red{$M_{h^0} <130$~GeV}
wegen der Relation zu $M_Z$ aufgrund der Supersymmetrie!

Die Suche bei LEP~II und bisher beim TEVATRON war erfolglos. Gute Aussichten beim LHC.
\vfill\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{normalsize}
\Blue{\bf Suche nach MSSM Higgs-Bosonen am LHC:}
\end{normalsize}

\begin{tabular}{ll}
\mbox{\epsfig{figure=/.at/wwwatlas/ftp/outgoing/vorlesung/plots/mssm_pics1.eps,width=0.50\textwidth}} &
\mbox{\epsfig{figure=/.at/wwwatlas/ftp/outgoing/vorlesung/plots/mssm_pics2.eps,width=0.50\textwidth}} \\
\mbox{\epsfig{figure=/.at/wwwatlas/ftp/outgoing/vorlesung/plots/mssm_pics3.eps,width=0.50\textwidth}} &
\mbox{\epsfig{figure=/.at/wwwatlas/ftp/outgoing/vorlesung/plots/mssm_pics4.eps,width=0.50\textwidth}} \\
\end{tabular}

\vfill\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{large}
\Blue{\bf 3.3.2 Vorz\"uge der Supersymmetrie}
\end{large}

\begin{itemize}

\item \Red{Vereinheitlichung von Fermionen und Bosonen und von inneren und Raum-Zeit-Symmetrien.}

\item Feldtheorien mit \Red{lokaler Supersymmetrie} sind Kandidaten f\"ur eine  
\Red{Quantentheorie der Gravitation (Supergravitation)}
und ihre Vereinigung mit den anderen Eichwechselwirkungen:

\[ \Red{\{Q_\alpha , \overline{Q}_\beta\} = 2 (\gamma^\mu )_{\alpha \beta} P_\mu} \]

(Generator f\"ur lokale Raum-Zeit-Transformationen: Symmetrie der Allgemeinen Relativit\"atstheorie).

\item \Red{LSP ist der momentan beste Kandidat f\"ur die `Dunkle Materie'.}
\vfill\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\item Hauptmotivation:\hfill\break
Elegante und lange einzige \Red{L\"osung des Problems der divergierenden Higgs-Massenkorrekturen}
durch Kompensation der Vakuum\-polari\-sations\-beitr\"age der Fermionen durch die ihrer
Superpartner, nat\"urliche Erg\"anzung des Standardmodells:
\vspace{-4mm}

\begin{center}
\mbox{\epsfig{figure=/.at/wwwatlas/ftp/outgoing/vorlesung/plots/higgs_mass_corr.eps,width=0.90\textwidth}}
\end{center}
\vspace{-15mm}

\begin{eqnarray*}
\delta M_H^2 &\sim& g_Y^2 \int_0^\Lambda {d^4 k\over (2\pi)^4} {1\over k^2}\sim g_Y^2\Lambda^2; \\
\stackrel{SUSY}{\Longrightarrow} \delta M_H^2 &\sim& 
+ [g_Y^2\Lambda^2]_{\mathrm Bosonen}
- [g_Y^2\Lambda^2]_{\mathrm Fermionen}\approx 0.
\end{eqnarray*}

Kompensation der Beitr\"age der Fermionen und ihrer Superpartner bis auf Massenunterschiede
verursacht durch SUSY-Brechung.

$\Longrightarrow$ Korrekturen zur Higgs-Masse und daher Higgs-Masse klein unabh\"angig
vom Abscheideparameter $\Lambda$, der sehr gro\ss\ sein kann, z.B.\ 
$\Lambda = \Lambda_{GUT}\approx 10^{15}$~GeV
oder $\Lambda = M_{\mathrm Planck}\approx 10^{19}$~GeV, je nachdem, wie weit das Standardmodell
g\"ultig ist.

Kompensation der \Red{quadratischen Divergenz} der Massenkorrekturen in $M_H^2= M_{H,0}^2 + \delta M_H^2$
mit sehr hoher Genauigkeit w\"are unnat\"urlich \Red{(`Hierarchie'- oder Feinabstimmungsproblem).}

K\"urzlich Konkurrenz durch Modelle mit gro\ss en extra Raumdimensionen und Vereinheitlichung
aller Kr\"afte einschlie\ss lich der Gravitation bereits bei der elektroschwachen Energieskala.
\end{itemize}
\vfill\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}

\begin{itemize}
\item \Red{Supersymmetrie in Verbindung mit GUTs:}

\begin{itemize}
\item \Red{Vorhersage des Weinberg-Winkels}\hfill\break
mit Genauigkeit $<0.2\%$ (im SUSY $SU(5)$-Modell):
\vspace{3mm}

\hspace{20mm}\Red{$\sin^2\theta_W (M_Z) = 0.2336\pm 0.0017$}.
\vspace{5mm}

Standardmodell ohne SUSY: 
\vspace{3mm}

\hspace{20mm}\Blue{$\sin^2\theta_W (M_Z)=0.209$.}
\vspace{5mm}

Experiment (LEP~I, SLC):
\vspace{3mm}

\hspace{20mm}\Blue{$\sin^2\theta_W (M_Z) = 0.23146 \pm 0.00017$.}

\item \Red{Vereinigung der Eichkopplungskonstanten} bei hohen Energien:
\end{itemize}

\begin{center}
%\mbox{\epsfig{figure=/home/pcatlas17/kroha/talks/berlin/S035_2.eps,
%width=0.76\textwidth}}
%\mbox{\epsfig{figure=S035_3.eps,width=1.2\textwidth}}
\mbox{\epsfig{figure=/.at/wwwatlas/ftp/outgoing/vorlesung/plots/cern_2000_p125_10_2.eps,width=1.00\textwidth}}
\end{center}

\end{itemize}
\vspace{-200mm}

\end{figure}
\vfill\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
