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% Vorlesung WS 2010/11
% Author: H. Kroha
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\begin{document}

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{\fancyplain{\scriptsize PD Dr.~H.~Kroha: Tests des Standardmodells der Teilchenphysik,
WS 2016/17}%
{\scriptsize PD Dr.~H.~Kroha: Tests des Standardmodells der Teilchenphysik, WS 2016/17}}

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\tabcolsep=1.5mm
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}

\begin{large}
\Blue{\bf 1.1\hphantom{.1\ }Feldtheorien der Elementarteilchen}
\vspace{5mm}

\Blue{\bf 1.1.1 Quantenmechanik und Feldtheorie}\hfill\break
\end{large}
\vspace{6mm}

\begin{center}
\begin{tabular}{lclcl}
\Red{Klass.\ Mechanik}& $\longrightarrow$ & \Red{Klass.\ QM} & $\longrightarrow$ & \Red{Vielteilchensysteme:} \\
Hamilton'sche         &                   & Schr\"odinger-   &                   & 2.\ Quantisierung \\
Bewegungs-            &                   & gleichung        &                   & (Vielteilchen-      \\
gleichungen           &                   & (Einteilchen-    &                   & grundzustand       \\
                      &                   & zust\"ande)      &                   & + Anregungen)      \\ [10mm]

\multicolumn{5}{c}{$\downarrow$ \Blue{Lorentzinvarianz}} \\ [7mm]

\Red{Relativistische} & $\longrightarrow$ & \Red{Relativistische} & $\longrightarrow$ & \Red{Vielteilchensysteme:} \\
\Red{Mechanik}        &                   & \Red{Wellen-}     &                   & Feldquantisierung \\
                      &                   & \Red{gleichungen} &                   & (Vakuum-      \\
                      &                   & ($\rightarrow$ Antiteilchen)   &      & grundzustand  \\
                      &                   &                                &      & + Teilchen- \\
                      &                   &                                &      & anregungen) \\
\end{tabular}
\end{center}
\vspace{6mm}

Die Maxwell-Gleichungen sind das erste Bespiel einer relativistischen Feldtheorie.

Die \Red{Lorentz-Symmetrie} wurde anhand der Maxwell-Gleichungen entdeckt. 

Die erste Quantenfeldtheorie war die QED mit elektromagnetisch gekoppelten Quantenfeldern f\"ur
elektrisch geladene Materie und elektromagnetisches Feld (Photonen). Sie ist das Muster f\"ur
alle anderen Wechselwirkungen des Standardmodells.

\end{figure}
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{large}
\Blue{\bf 1.1.2 Notation}
\end{large}

\begin{enumerate}

\item \Red{Wirkungsquantum $\hbar = 1$, Lichtgeschwindigkeit $c=1$.}

\item \Red{4-Vektoren:}

Raum-Zeit-Koordinaten:

Kontravariante Koordinaten: 
\vspace{-5mm}

\[ x^\mu = (x^0,x^1,x^2,x^3) = (t,x,y,z). \]
\vspace{-15mm}

Kovariante Koordinaten: 
\vspace{-15mm}

\begin{eqnarray*}
x_\mu &=& (x_0,x_1,x_2,x_3) = (t,-x,-y,-z),  \\
x_\mu &=& g_{\mu\nu} x^\nu \equiv \sum_\nu g_{\mu\nu} x^\nu .
\end{eqnarray*}
\vspace{-20mm}

mit dem metrischen Tensor der Minkowsky-Raum-Zeit:
\vspace{-6mm}

\[ g_{\mu\nu} = \left(\begin{array}{cccc} 1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & -1 \\ \end{array}\right)
\equiv g^{\mu\nu}, \]
\vspace{-20mm}

\[ g_{\mu\nu} g^{\mu\nu} = 4;\hspace{7mm} g_{\mu\alpha} g^{\alpha\nu} = g^\mu_\nu = \delta^\mu_\nu \]
\vspace{-15mm}

und Summation \"uber wiederholte Indizes.
\vfill
\clearpage

\item \Red{Skalarprodukt (invariant):}
\vspace{-4mm}

\[ x^2 \equiv x^\mu x_\mu = t^2 - \vec{x}^2 = t^2 - x^2 -y^2 -z^2. \]

\item \Red{Energie-Impuls-Vektor:}
\vspace{-13mm}

\begin{eqnarray*}
p^\mu &=& (E,\vec{p}) = (E,p_x,p_y,p_z), \\
p_\mu &=& (E,-\vec{p}) = (E,-p_x,-p_y,-p_z), 
\end{eqnarray*}
\vspace{-20mm}

\[ p^2\equiv p^\mu p_\mu = E^2-\vec{p}^2 = m^2. \]

\item \Red{Differentialoperatoren:}
\vspace{-10mm}

\begin{eqnarray*}
\partial_\mu &\equiv& {\partial\over\partial x^\mu} = \biggl ({\partial\over \partial t},\vec{\nabla}\biggr )
= \biggl ({\partial\over\partial t},{\partial\over\partial x},{\partial\over\partial y},{\partial\over\partial z}
\biggr ), \\
\partial^\mu &\equiv& {\partial\over\partial x_\mu} = \biggl ({\partial\over \partial t},-\vec{\nabla}\biggr ).
\end{eqnarray*}

\item \Red{Quantenmechanische Operatoren:}

4-Impuls: $\widehat{p}^\mu = i\partial^\mu = i{\partial\over\partial x_\mu} = 
(i{\partial\over\partial t},-i\vec{\nabla}),$
\vspace{-8mm}

\[ \widehat{p}^\mu \widehat{p}_\mu = -\partial^\mu\partial_\mu = 
-\biggl ({\partial^2\over\partial t^2}-\vec{\nabla}^2\biggr ) = -\Box \]
\vspace{-8mm}

mit dem d'Alembert-Operator $\Box =\partial^\mu\partial_\mu$.

\end{enumerate}
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{large}
\Blue{\bf 1.1.3\hphantom{.1} Lagrange-Formalismus in der Feldtheorie}
\vspace{1mm}

\Blue{\bf 1.1.3.1\ Lagrange-Formalismus in der klassischen
\hphantom{1.1.3.1\ }Mechanik}
\end{large}
\vspace{5mm}

Nach dem Hamiltonschen Prinzip der kleinsten Wirkung
erh\"alt man die Bewegungsgleichungen durch \Red{Variation des Wirkungsintegrals}

\begin{equation}
\Red{S \equiv \int_{t_1}^{t_2} dt L(q_i, {\dot{q}}_i),}
\end{equation}

mit der Lagrangefunktion $L(q_i, \dot{q}_i)= T-V$ als Funktion der verallgemeinerten Koordinaten $q_i(t)$
und ihrer Ableitungen $\dot{q}_i$ $(i=1,\ldots n)$, aus der Bedingung

\begin{equation}
\Red{\delta S = \delta \int_{t_1}^{t_2} dt L(q_i, \dot{q}_i) =0,} 
\end{equation}

wobei die Koordinaten an den Endpunkten $t_1$ und $t_2$ festgehalten werden.

Die Bewegungsgleichungen liefern die Trajektorien $q_i(t)$, f\"ur die die
Wirkung $S$ minimal wird.

Die Bewegungsgleichungen sind die \Red{Euler-Lagrange-Gleichungen:}
\vspace{-5mm}

\begin{equation}
\Red{{d\over dt}\biggl ({\partial L\over\partial \dot{q}_i}\biggr ) 
-{\partial L\over\partial q_i} = 0.} 
\end{equation}
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{large}
\Blue{\bf 1.1.3.2\ Anwendung des Lagrange-Formalismus\hfill\break
\hphantom{1.1.3.2\ }in der Feldtheorie}
\end{large}
\vspace{5mm}

Die Feldgleichungen ergeben sich durch Variation der klassichen Wirkung

\begin{equation}
\Red{S \equiv \int_{t_1}^{t_2} dt \int d^3 x {\cal L}(\phi, \partial_\mu\phi )} 
\end{equation}

mit der \Red{Lagrangedichte ${\cal L}(\phi (x),\partial_\mu \phi (x))$} als Funktion
des Feldes $\phi (x)$ (Kontinuum unendlich vieler Variabler)
und seines 4-Gradienten $\partial_\mu \phi (x)$, die die Rolle der Lagrangefunktion
\vspace{-5mm}

\[ L =  \int d^3 x {\cal L}(\phi, \partial_\mu\phi ) =T-V \]
\vspace{-5mm}

\"ubernimmt. 

Das Hamilton-Prinzip, $\delta S=0$ mit \mbox{$\delta \phi (t_1,\vec{x}) = 0 = \delta \phi (t_2,\vec{x})$},
ist erf\"ullt, wenn die Euler-Langrage-Bewegungsgleichungen 

\begin{equation}
\Red{\partial_\mu {\partial {\cal L}\over \partial (\partial_\mu \phi (x))}
-{\partial {\cal L}\over\partial\phi (x)}=0} 
\end{equation}

erf\"ullt sind.
\clearpage


Die Feldgleichungen sind relativistisch kovariant, wenn die Lagrangedichte lorentzinvariant, also ein Lorentzskalar
ist. Wegen der Randbedingung \"andern sie sich nicht, wenn eine totale Divergenz $\partial_\mu A$
zur Lagrangedichte addiert wird.

Die Symmetrien der Feldgleichungen ergeben sich aus den Symmetrien der Lagrangedichte.

Die Quantenzahlen der Elementarteilchen und ihre Wechselwirkungen sind durch Symmetrien der
Lagrangedichte bestimmt.
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{large}
\Blue{\bf 1.1.4\hphantom{.1} Feldgleichungen f\"ur freie Teilchen}
\end{large}
\vspace{5mm}

Relativistische Wellengleichungen f\"ur die fundamentalen
Teilchen des Standardmodells.
\vspace{5mm}

\begin{large}
\Blue{\bf 1.1.4.1\ Rekapitulation: Schr\"odingergleichung}
\end{large}
\vspace{5mm}

\Red{f\"ur nicht-relativistische freie Punktteilchen ohne Spin:\hfill\break
$E={\vec{p}^2\over 2m}=T$.}
\vspace{3mm}

Quantisierung:
\vspace{-10mm}

\[ \Red{E\longrightarrow i\hbar{\partial\over\partial t};\hspace{5mm} \vec{p}\longrightarrow -i\hbar\vec{\nabla}.}\]
\vspace{-5mm}

$\Longrightarrow$ Wellengleichung:
\vspace{-10mm}

\[ \Red{i\hbar {\partial\psi (\vec{x},t)\over\partial t}= \widehat{H}\psi (\vec{x},t) =
- {\hbar^2\over 2m}\vec{\nabla}^2\psi (\vec{x},t)} \]
\vspace{-5mm}

mit den ebenen Wellenl\"osungen
\vspace{-8mm}

\[ \Red{\psi (\vec{x},t) = {1\over V} e^{i(\vec{k}\cdot \vec{x} -\omega t)}}\]
\vspace{-5mm}

zu den Energie- und Impulseigenwerten \Red{$E=\hbar \omega$, $\vec{p}=\hbar \vec{k}$.}
\clearpage

Mit den Definitionen
\vspace{-10mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
\rho &=& \psi^\ast\psi = |\psi |^2 \hspace{3mm}\Black{(={1\over V}),} \\
\vec{j} &=& -{i\hbar\over 2m}(\psi^\ast (\nabla\psi)-(\vec{\nabla}\psi^\ast )\psi ) 
\hspace{3mm}\Black{(= {\hbar \vec{k}\over mV}=\rho {\vec{p}\over m} = \rho\vec{v})}
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-5mm}

f\"ur die Wahrscheinlichkeitsdichte und die Wahrscheinlichkeits\-stromdichte 
(in Klammern f\"ur ebene Wellen) gilt die
lokale Erhaltung der Wahrscheinlichkeit (Kontinuit\"atsgleichung):
\vspace{-8mm}

\[ \Red{{\partial\rho\over\partial t} +\vec{\nabla}\cdot\vec{j} = 0} \]

und damit

\[ {d\over dt}\int d^3 x \rho = 0. \]

\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{large}
\Blue{\bf 1.1.4.2\ Skalare Bosonen:\hfill\break
\hphantom{1.1.4.2\ }Klein-Gordon-Gleichung}
\end{large}

(Gordon, Klein 1926; Pauli, Weisskopf 1934)
\vspace{2mm}

\Red{f\"ur relativistische skalare (Spin 0-) Bosonen} (z.B.\ $\pi^\pm$, $K^0/\bar{K}^0$, Higgsfeld):
\Red{$E^2=\vec{p}^2+m^2$.}
\vspace{3mm}

Quantisierung ($\hbar =1$):
\vspace{-10mm}

\[ \Red{p^\mu =(E,\vec{p})\longrightarrow i\partial^\mu =(i{\partial\over \partial t}, -i\vec{\nabla}).} \]
\vspace{-5mm}

$\Longrightarrow$ Wellengleichung:
\vspace{-10mm}

\[ -{\partial^2\phi (x)\over\partial t^2} = ( -\vec{\nabla}^2 + m^2) \phi (x), \]
\vspace{-10mm}

\begin{center}
\Red{\fbox{$\Longrightarrow \biggl ({\partial^2\over\partial t^2}-\vec{\nabla}^2 + m^2\biggr ) \phi (x)
\equiv (\Box +m^2)\phi (x)=0.$}}
\end{center}
\vspace{-3mm}

Die gleiche Gleichung gilt f\"ur das komplex konjugierte Feld (Antiteilchen):
\vspace{-10mm}

\[ \Red{ (\Box +m^2)\phi^\ast (x)=0.} \]
\vspace{-15mm}

Die Feldgleichungen lassen sich aus der Lagrangedichte
\vspace{-3mm}

\begin{center}
\Red{\fbox{${\cal L} = [(\partial_\mu\phi )(\partial^\mu\phi )^\ast -m^2\phi\phi^\ast ]
={\cal L}(\phi ,\phi^\ast;\partial^\mu \phi,\partial^\mu \phi^\ast )$}}
\end{center}
\clearpage

nach dem Variationsformalismus von Euler und Lagrange herleiten durch Variation
der Felder:
\vspace{5mm}

\begin{center}
$\delta\phi^\ast (x)$ ergibt Feldgleichung f\"ur $\phi (x)$.
\vspace{2mm}

$\delta\phi (x)$ ergibt Feldgleichung f\"ur $\phi^\ast (x)$.
\end{center}
\vspace{5mm}

Freie L\"osungen sind ebene Wellen:
\vspace{-10mm}

\[ \Red{\phi^{\pm} (x) = {1\over\sqrt{V}} e^{i(\vec{k}\cdot \vec{x} \mp \omega t)}} \]
\vspace{-10mm}

zu den Energieeigenwerten \Red{$E=\pm \omega$ mit $\omega =\sqrt{\vec{p}^2 + m^2}$.}
\vspace{5mm}

Die globale $U(1)$-Eichsymmetrie der Lagrangedichte unter Phasentransformationen
der Felder (s.u.) f\"uhrt zu dem lokalen Erhaltungssatz (Kontinuit\"atsgleichung)
\vspace{-10mm}

\[ \Red{\partial_\mu j^\mu = {\partial \rho\over\partial t} +\vec{\nabla}\cdot \vec{j} =0} \]
\vspace{-10mm}

f\"ur die 4-Wahrscheinlichkeitsstromdichte $j^\mu = (\rho,\vec{j})$:
\vspace{-10mm}

\begin{eqnarray*}
j^\mu &=& -i{1\over 2m}\cdot\biggl ({\partial {\cal L}\over\partial (\partial_\mu \phi )}\phi
-{\partial {\cal L}\over\partial (\partial_\mu \phi^\ast )}\phi^\ast \biggr )  \\
&=& -{i\over 2m}[(\partial^\mu \phi )^\ast\phi - (\partial^\mu \phi )\phi^\ast ]
\end{eqnarray*}
\clearpage


mit \Red{$\rho=\pm {1\over V}\cdot {\omega\over m}$} und \Red{$\vec{j}= {1\over V}\cdot {\vec{k}\over m}$}
f\"ur ebene Wellenl\"osungen (relativistische Verallgemeinerung der Wahrscheinlichkeitserhaltung
in der klassichen Quantenmechanik).

Die Wahrscheinlichkeitsdichte $\rho$ f\"ur L\"osungen mit negativen Energieeigenwerten
ist ebenfalls negativ.

Im Rahmen der Quantenfeldtheorie k\"onnen die ebenen Wellen mit negativer Energie
als Wellenfunktionen f\"ur die Antiteilchen interpretiert werden (s.u.).

Die relativistische Invarianz erlaubt keine konsistente quantenmechanische Interpretation der
Einteilchen\-wellen\-glei\-chung. Eine Vielteilchenquantentheorie ist erforderlich.
Die (klassiche) Lagrangedichte ist dennoch f\"ur die Untersuchung der Symmetrien und
Wechselwirkungen und die meisten Berechnungen ausreichend.
\clearpage

{\bf Grenzfall:}
\vspace{5mm}

\Red{Reelle skalare Felder} beschreiben Spin 0-Teilchen, die mit ihren Antiteilchen identisch sind
(z.B.\ $\pi^0$, Higgsboson).
\vspace{5mm}

Die Wellengleichung
\vspace{-10mm}

\[ \Red{(\Box + m^2)\phi (x) = 0} \]
\vspace{-10mm}

entspricht der Lagrangedichte
\vspace{-10mm}

\[ \Red{{\cal L (\phi ,\partial^\mu \phi )} = {1\over 2}[(\partial_\mu\phi )(\partial^\mu\phi ) -m^2\phi^2].}\]
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{large}
\Blue{\bf 1.1.4.3\ Fermionen: Dirac-Gleichung}
\end{large}

(Dirac, 1928)
\vspace{5mm}

\Red{f\"ur relativistische Spin ${1\over 2}$-Fermionen (Leptonen und Quarks):}\hfill\break
\Red{$E^2=\vec{p}^2+m^2$.}
\vspace{3mm}

Quantisierung:
\vspace{-10mm}

\[ \Red{E\longrightarrow i{\partial\over\partial t};\hspace{5mm} \vec{p}\longrightarrow -i\vec{\nabla}.}\]
\vspace{-10mm}

$\Longrightarrow$ Ansatz f\"ur die Wellengleichung nur mit 1.~Ableitung nach der Zeit
(wie Schr\"odingergleichung nach den Interpretationsproblemen mit der Klein-Gordon-Gleichung)
und damit auch nach dem Ort (wegen relativistischer Kovarianz):
\vspace{-10mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
i{\partial\psi\over \partial t}\equiv \widehat{H}\psi &=& (\vec{\alpha}\cdot \widehat{\vec{p}} +\beta m )\psi \\
&\equiv & (-i\vec{\alpha}\cdot \vec{\nabla} +\beta m )\psi
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-14mm}

mit Parametern $\vec{\alpha}$, $\beta$, die so gew\"ahlt werden m\"ussen, da\ss\ weiterhin
(f\"ur jede Komponente des Feldes $\psi$) die Klein-Gordon-Gleichung erf\"ullt ist, d.h.
nach 2.~Ableitung des Ansatzes nach der Zeit und Einsetzen des Ansatzes f\"ur die 1.~Ableitung:
\vspace{-10mm}

\[ -{\partial^2 \psi\over\partial t^2}\equiv \widehat{H}^2\psi = (\widehat{\vec{p}}^2 + m^2)\psi
\equiv (-\vec{\nabla}^2 +m^2)\psi \]
\clearpage

Dies ist nur erf\"ullbar, wenn $\alpha_{1,2,3}=\alpha^\dagger_{1,2,3}$ und $\beta=\beta^\dagger$ 
hermitesche Matrizen sind mit den Eigenschaften:
\vspace{-6mm}

\begin{enumerate}
\item $\alpha^2_1 = \alpha^2_2 = \alpha^2_3 = \beta^2 =1$\hspace{3mm} $\Longrightarrow$ Eigenwerte $=\pm 1$

\item Antivertauschungsrelationen:

$\alpha_j\alpha_k + \alpha_k\alpha_j = 0$\hspace{2mm} $(j\neq k)$,

$\alpha_j\beta + \beta\alpha_j = 0$\hspace{6mm}$\Longrightarrow {\mathrm Spur}(\alpha_{1,2,3})
={\mathrm Spur}(\beta )=0$.
\end{enumerate}
\vspace{-6mm}

Damit mu\ss\ die Dimension der Matrizen gerade sein und mindestens $n=4$, da es f\"ur $n=2$ neben der
Einheitsmatrix $I$ nur 3 linear unabh\"angige Matrizen gibt, die \Red{Pauli'schen Spinmatrizen:}
\vspace{-10mm}

\[ \sigma_1 = \left (\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right ),
   \sigma_2 = \left (\begin{array}{rr} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{array} \right ),
   \sigma_3 = \left (\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array} \right ). \]
\vspace{-10mm}

F\"ur $n=4$ gibt es 16 linear unabh\"angige Matrizen.

Die folgenden Kombinationen von Matrizen sind am g\"unstigsten f\"ur eine raum-zeitlich symmetrische 
Formulierung der Dirac-Wellengleichung: die \Red{Dirac'schen $\gamma$-Matrizen:}
\vspace{-10mm}

\[ \gamma^0 =\beta, \gamma^1=\beta\alpha_1, \gamma^2=\beta\alpha_2, \gamma^3=\beta\alpha_3, \]
\vspace{-16mm}

die formal einen 4-Vektor bilden,
\vspace{-10mm}

\[ \Red{\gamma^\mu = (\gamma^0,\gamma^1,\gamma^2,\gamma^3 ),\hspace{2mm}
\gamma_\mu = g_{\mu\nu}\gamma^\mu =(\gamma^0, -\gamma^1,-\gamma^2,-\gamma^3),} \]
\vspace{-18mm}

bei Lorentztransformationen aber invariant bleiben.
\clearpage

Damit ist die relativistisch kovariante \Red{Dirac-Gleichung:}
\vspace{2mm}

\begin{center}
\Red{\fbox{$(i\gamma^\mu\partial_\mu -m)\psi (x) =0$}} 
\end{center}
\vspace{-1mm}

d.h.
\vspace{-7mm}

\[ \biggl [i(\gamma^0{\partial\over\partial t} +\vec{\gamma}\cdot\vec{\nabla} ) -m\cdot I\biggr ]\psi =0. \]
\vspace{-10mm}

Die Fermionfelder sind 4-komponentig: \Red{4-Spinoren.}
\vspace{2mm}

Die $\gamma$-Matrizen haben die folgenden Eigenschaften:

\begin{itemize}

\item \Red{$\gamma^\mu\gamma^\nu + \gamma^\nu\gamma^\mu = 2g^{\mu\nu}\cdot I$.}

\item \Red{$\gamma^\mu\gamma_\mu = g_{\mu\nu}\gamma^\mu\gamma^\nu = 4\cdot I$.}

\item \Red{$\gamma^{0\dagger} =\gamma^0$, $\gamma^{j\dagger}=-\gamma^j$.}

\end{itemize}

Eine gebr\"auchliche Darstellung der $\gamma$-Matrizen ist
(Pauli-Dirac-Darstellung: $\gamma^0$ diagonal):
\vspace{-10mm}

\textRed
\[ \gamma^0 =\left (\begin{array}{rr} I & 0 \\ 0 & -I \\ \end{array}\right ),
 \hspace{2mm}  \gamma^j =\left (\begin{array}{rr} 0 & \sigma_j \\ -\sigma_j & 0 \\ \end{array}\right ). \]
\textBlack
\clearpage

Der \Red{adjungierte Spinor}, definiert durch
\vspace{-12mm}

\[ \Red{\overline{\psi} := \psi^\dagger\gamma^0,} \]
\vspace{-10mm}

erf\"ullt die adjungierte Dirac-Gleichung:
\vspace{-10mm}

\[ \overline{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu -m) = 0. \]
\vspace{-10mm}

Das Produkt $\overline{\psi}\psi$ ist im Gegensatz zu $\psi^\dagger\psi$
lorentzinvariant (Lorentz-Skalar).
\vspace{6mm}

Die lorentzinvariante \Red{Lagrangedichte f\"ur freie Dirac-Teilchen} ist
damit:
\vspace{-2mm}

\begin{center}
\Red{\fbox{${\cal L}=\overline{\psi}(x)(i\gamma^\mu\partial_\mu -m)\psi (x)$}}
\end{center}
\vspace{-2mm}

Variation $\delta\overline{\psi}$ liefert als Feldgleichung die Dirac-Gleichung.

Variation $\delta\psi$ liefert als Feldgleichung die adjungierte Dirac-Gleichung.
\vspace{6mm}

L\"osungen der freien Dirac-Gleichung sind ebene Wellen mit 4 internen Spinorfreiheitsgraden,\hfill\break
zu zwei (positiven und negativen Energieeigenwerten $E=\pm \sqrt{\vec{p}^2 + m^2}$ und zu
zwei Spineinstellungen $s=1,2$ (up/down bzgl.\ der $z$-Richtung),\hfill\break
die ein Orthonormalsystem bilden:
\vfill
\clearpage

\begin{figure}
\textRed
\[ \psi^{+}(x)= u_s(p) e^{-ip_\mu x^\mu};\;\; \psi^{-}(x)= v_s(p) e^{+ip_\mu x^\mu} \]
\textBlack
\vspace{-14mm}

mit den Spinorkomponenten

\vspace{-14mm}
\textRed
\begin{eqnarray*}
u_1(p) &=& {\scriptstyle \sqrt{E+m\over V}}\left (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ {p_z\over E+m} \\ {p_x+ip_y\over E+m} \\
\end{array}\right);\;
u_2(p) =   {\scriptstyle \sqrt{E+m\over V}}\left (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ {p_x-ip_y\over E+m} \\ {-p_z\over E+m}\\
\end{array}\right);\\
v_1(p) &=& {\scriptstyle \sqrt{|E|+m\over V}}\left (\begin{array}{c} {p_x-ip_y\over |E|+m} \\ {-p_z\over |E|+m}\\ 0 \\ 1 \\
\end{array}\right);
v_2(p) =   {\scriptstyle \sqrt{|E|+m\over V}}\left (\begin{array}{c} {p_z\over |E|+m} \\ {p_x+ip_y\over |E|+m} \\ 1 \\ 0 \\
\end{array}\right).
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-10mm}

Dabei ist $p_\mu x^\mu= Et-\vec{p}\cdot\vec{x}$ und
$u_s^\dagger u_s = v_s^\dagger v_s = 2E/V$.
\vspace{5mm}

Interpretation der Zust\"ande:
\vspace{1mm}

\begin{itemize}
\item $u_s(p)$ ($E>0$): (in pos.\ Zeitrichtung) einlaufendes Fermion
(am WW-Punkt vernichtet).

\item $\overline{u}_s(p)$ ($E>0$): (in pos.\ Zeitrichtung) auslaufendes Fermion
(am WW-Punkt erzeugt).

\item $v_s(p)$ ($E<0$): (in neg.\ Zeitrichtung) einlaufendes Anti-Fermion
(am WW-Punkt erzeugt).

\item $\overline{v}_s(p)$ ($E<0$): in neg.\ Zeitrichtung auslaufendes Anti-Fermion
(am WW-Punkt vernichtet).
\end{itemize}

\end{figure}
\clearpage

Bei Wahl der Spinrichtung entlang der Impulsrichtung (Spin-Quantisierungsachse)
k\"onnen folgende Spinzust\"ande definiert werden:
\vspace{-6mm}

\begin{itemize}
\item[] \Red{Linksh\"andige Fermionen $\psi_L = P_L\psi$:} Spin und Impuls antiparallel.

\item[] \Red{Rechtsh\"andige Fermionen $\psi_R = P_R\psi$:} Spin und Impuls parallel.

\end{itemize}

Die Projektionsoperatoren $P_L=P_L^2$ und $P_R=P_R^2$, mit
$P_LP_R=P_RP_L=0$ und $P_R+P_L=1$, sind gegeben durch:
\vspace{-10mm}

\[ \Red{P_L = {1-\gamma_5\over 2}=P_L^\dagger,\hspace{5mm} P_R ={1+\gamma_5\over 2}=P_R^\dagger}. \]
\vspace{-10mm}

Dabei ist der Chiralit\"atsoperator $\gamma_5$ ist gegeben durch
\vspace{-10mm}

\[ \Red{\gamma_5 = i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 =\gamma_5^\dagger}\]

mit den Eigenzust\"anden (Chiralit\"atsspinorzust\"ande):
\vspace{-10mm}

\[ \Red{\gamma_5\psi_R = \psi_R, \hspace{5mm}\gamma_5\psi_L=-\psi_L ,} \]
\vspace{-10mm}

wobei
\vspace{-10mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
\overline{\psi}_L &=& (P_L\psi)^\dagger\gamma^0 =\overline{\psi} P_R , \\
\overline{\psi}_R &=& (P_R\psi)^\dagger\gamma^0 =\overline{\psi} P_L .
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-10mm}

Die Helizit\"at $h={\vec{s}\cdot \vec{p}\over |\vec{p}|}$ 
h\"angt vom Bezugsystem ab,
au\ss er f\"ur masselose Teilchen.
\vfill
\clearpage
                             
Es gilt:

\begin{itemize}
\item \Red{$\gamma_5^2 = I$.}

\item \Red{$\gamma^\mu\gamma_5 + \gamma_5\gamma^\mu =0$.}

\item \Red{$\gamma_5 P_R = -P_R$, $\gamma_5 P_L = -P_L$.}

\item \Red{$\gamma^\mu P_L = P_R\gamma^\mu$, $\gamma^\mu P_R= P_L\gamma^\mu$.}
\end{itemize}

In der Pauli-Dirac-Darstellung ($\gamma^0$ diagonal) hat $\gamma_5$ die Form
\vspace{-10mm}

\[ \Red{\gamma_5 =\left (\begin{array}{cc} 0 & I \\ I & 0 \\ \end{array} \right ).} \]
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{large}
\Blue{\bf 1.1.4.4\ Photonen: Elektromagnetisches Feld}
\end{large}
\vspace{5mm}

{\bf Maxwell-Gleichungen} {\boldmath $(c=1)$:}

(Maxwell 1864)\hfill
\vspace{-5mm}

\begin{itemize}

\item[(i)]  \Red{$\vec{\nabla}\cdot \vec{B}=0$;}\hspace{10mm}
\Red{$\vec{\nabla}\times\vec{E}=-{\partial\vec{B}\over\partial t}$;}
\hspace{14mm}\hphantom{$+\vec{j}$}(Randbedingungen)

\item[(ii)] \Red{$\vec{\nabla}\cdot \vec{E}=0$;}\hspace{10mm}
\Red{$\vec{\nabla}\times\vec{B}=\hphantom{-}{\partial\vec{E}\over\partial t}$;}
\hspace{14mm}\hphantom{$+\vec{j}$}(freies Feld)

\item[(ii$^\prime$)] \Red{$\vec{\nabla}\cdot \vec{E}=\rho$;}\hspace{10mm}
\Red{$\vec{\nabla}\times\vec{B}=\hphantom{-}{\partial\vec{E}\over\partial t}+\vec{j}$.}
\hspace{10mm}(mit Quellen)
\end{itemize}
\vspace{-5mm}

mit der elektrischen Ladungsdichte $\rho (x)$ und der elektrischen Stromdichte $\vec{j}(x)$,
f\"ur die ein Erhaltungssatz (Kontinuit\"atsgleichgung) gilt:
\vspace{-8mm}

\[ \Red{{\partial\rho\over\partial t} + \vec{\nabla}\cdot \vec{j} =0,} \]
\vspace{-12mm}

der unmittelbar aus (ii$^\prime$) durch Berechnung des Gradienten folgt.
\vspace{4mm}

Die Gleichungen (i) f\"ur die elektromagnetischen Felder $\vec{E}(x)$ und $\vec{B}(x)$
sind automatisch erf\"ullt, wenn diese durch ein skalares Potential 
$\Phi (x)$ und ein Vektorpotential $\vec{A}(x)$ ausgedr\"uckt werden:
\vspace{-12mm}

\[ \Red{\vec{B} = \vec{\nabla}\times \vec{A};}
\hspace{10mm}\Red{\vec{E} = -\vec{\nabla}\Phi - {\partial \vec{A}\over\partial t}.} \]
\clearpage

{\bf Eichinvarianz der L\"osungen der Maxwell-Gleichungen}
\vspace{3mm}

unter den Transformationen
\vspace{-12mm}

\[ \Red{\Phi (x)\longrightarrow \Phi (x) -{\partial\chi (x)\over\partial t};}\hspace{10mm}
\Red{\vec{A} (x)\longrightarrow \vec{A} (x) + \vec{\nabla}\cdot \chi (x)} \]
\vspace{-12mm}

mit einem beliebigen skalaren Feld $\chi (x)$.
\vspace{4mm}

Die Maxwell-Gleichungen sind Lorentz-kovariant. Die\hfill\break
Lichtgeschwindigkeit ist in allen
bewegten Bezugssystemen die gleiche (Entdeckung der Speziellen Relativit\"atstheorie 1905).

\vspace{6mm}

{\bf Relativistisch kovariante Schreibweise:}
\vspace{3mm}

Mit dem 4-Potential \Red{$A^\mu = (\Phi, \vec{A})$} und dem antisymmetrischen
Feldtensor, definiert durch
dessen 4-Rotation
\vspace{-12mm}

\[ \Red{F^{\mu\nu} \equiv \partial^\nu A^\mu -\partial^\mu A^\nu = - F^{\nu\mu}} \]
\vspace{-20mm}

mit
\vspace{-15mm}

\[ \Red{F^{\mu\nu} = \left (\begin{array}{rrrr}
0 & E_1 & E_2 & E_3 \\
-E_1 & 0 & B_3 & -B_2 \\
-E_2 & -B_3 & 0 & B_1 \\
-E_3 & B_2 & -B_1 & 0 \\ \end{array} \right ), }\]
\vspace{-12mm}

erhalten die Maxwell-Gleichungen die Form:
\vspace{-3mm}

\begin{itemize}

\item[(i)] \Red{$\partial^\lambda F^{\mu\nu} +\partial^\mu F^{\nu\lambda}
+\partial^\nu F^{\lambda\mu} = 0;$}

\item[(ii)] \Red{$\partial_\mu F^{\mu\nu} =0$;}

\item[(ii$^\prime$)] \Red{$\partial_\mu F^{\mu\nu} = -j^\nu$.}
\end{itemize}
\clearpage

Aus (ii$^\prime$) und der Definition des Feldtensors (aufgrund von (i))
folgt durch Anwendung der 4-Divergenz unmittelbar die kovariante Form
der Kontinuit\"atsgleichung zur Ladungserhaltung:
\vspace{-12mm}

\[ \Red{\partial_\nu j^\nu = -\partial_\nu\partial_\mu F^{\mu\nu}= 0} \]
\vspace{-12mm}

mit der elektrischen 4-Stromdichte \Red{$j^\mu (x)= (\rho (x), \vec{j}(x))$.}

Die Erhaltung der elektrischen Ladung ist damit mit der Eichsymmetrie der
elektromagnetischen Feldgleichungen verbunden.

Die L\"osungen der Maxwellgleichungen f\"ur die Felder sind invariant
unter der \Red{Eichtransformation} des 4-Potentials:
\vspace{-8mm}

\[ \Red{A^\mu (x)\longrightarrow A^\mu (x) -\partial^\mu \chi (x).} \]
\clearpage

{\bf Potentialschreibweise der Maxwell-Gleichungen}
\vspace{3mm}

durch Einsetzen der Definition des Feldtensors:
\vspace{-12mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
\Black{{\mathrm (ii}^\prime)}\hspace{3mm} -\partial_\mu F^{\mu\nu} &=& \partial_\mu F^{\nu\mu} \equiv
\partial_\mu\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu (\partial_\mu A^\mu ) \\
&=& \partial_\mu (\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu ) \\
&=& \Box  A^\nu -\partial^\nu (\partial_\mu A^\mu )= j^\nu; \\
\Black{\mathrm (ii)}\hspace{3mm}
&& \Box  A^\nu -\partial^\nu (\partial_\mu A^\mu )= 0. \\
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-12mm}

Ohne Quellen (im Vakuum) erh\"alt man durch geeignete Wahl der Eichung \Red{(Lorentz-Eichung)}
\vspace{-12mm}

\[ A^\mu\longrightarrow A^{\mu \prime}= A^\mu -\partial^\mu\chi , \]
\vspace{-12mm}

so da\ss\
\vspace{-12mm}

\[ \Red{\partial_\mu A^{\mu \prime} \equiv 0,} \]
\vspace{-12mm}

d.h.\ Wahl des Feldes $\chi (x)$, so da\ss\
\vspace{-12mm}

\[ \partial_\mu\partial^\mu \chi \equiv \Box \chi = \partial_\mu A^\mu .\]
\vspace{-12mm}

Damit gilt die bekannte \Red{Wellengleichung f\"ur das elektromagnetische Potential:}
\vspace{-12mm}

\[ \Red{\Box A^\nu =0.} \]
\vspace{-12mm}

Jede Komponente von $A^\nu (x)$ erf\"ullt daher die \Red{Klein-Gordon-Gleichung
f\"ur ein masseloses Teilchen.}

\clearpage

{\bf L\"osungen der freien elektromagnetischen Wellengleichung}
\vspace{2mm}

sind ein- bzw.\ auslaufende ebene Wellen\hfill
\vspace{-12mm}

\begin{eqnarray*}
A^{\mu +} (x) &=& {1\over \sqrt{V}}\varepsilon_\mu (k,\lambda ) e^{-ik_\mu x^\mu}, \\
A^{\mu -} (x) &=& {1\over \sqrt{V}}\varepsilon_\mu^\ast (k,\lambda ) e^{ik_\mu x^\mu}
\end{eqnarray*}

mit dem Wellenvektor $k^\mu =p^\mu/\hbar$ mit \Red{$k_\mu k^\mu = k^2 = m_\gamma^2 \equiv 0$}
und \Red{2 transversalen Polarisationsfreiheitsgraden:}

\vspace{-12mm}
\[ \varepsilon_\mu (\lambda =\pm 1) = (\varepsilon^0, \vec{\varepsilon})=\mp {1\over\sqrt{2}} (0, 1, \pm i,0) \]

\vspace{-12mm}
(zirkulare Polarisation mit Helizit\"aten $\lambda = {\vec{k}\cdot\vec{s}\over |\vec{k}||\vec{s}|}=\pm 1$,
$\vec{k}|| \hat{z}$).

\vspace{-5mm}
Aus der Bedingung $\partial_\nu A^\nu = 0$ f\"ur die Lorentz-Eichung folgt 
die Randbedingung \Red{$k_\mu \varepsilon^\mu =0$.}

Die Funktion $\chi (x)$ der Lorentz-Eichung kann so gew\"ahlt werden, da\ss\ auch
\Red{$\vec{k}\cdot\vec{\varepsilon} =0$},

d.h.\ es gibt aufgrund der Eichinvarianz keine longitudinale Polarisation 
($\lambda =0$) der elektromagnetischen Wellen bzw.\
der masselosen Photonen, sie l\"a\ss t sich durch Eichtransformation eliminieren.
\vspace{3mm}

Die Maxwell-Gleichungen beschreiben also ein \Red{Photonfeld mit Spin 1 und Masse 0},
das nur \Red{zwei Helizit\"atszust\"ande} parallel und antiparallel zum Wellenvektor besitzt.
\vfill
\clearpage

Die Masselosigkeit des Photons und das Verschwinden des transversalen Helizit\"atsfreiheitsgrads
des 4-Vektorfelds des Photons sind beides miteinander verkn\"upfte Konsequenzen der
Eichfreiheit.
\vspace{4mm}

Die elektrisch neutralen Photonen sind mit ihren Antiteilchen identisch.

Das gleiche gilt f\"ur reelle, massive Bosonfelder mit Spin 0 (Higgs-Boson).
\vspace{2mm}

{\bf Lagrangedichte f\"ur das elektromagnetische Feld}
\vspace{-8mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
{\cal L} &=& -{1\over 4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} \\
&=& -{1\over 4} 
(\partial_\nu A_\mu -\partial_\mu A_\nu ) (\partial^\nu A^\mu -\partial^\mu A^\nu )
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-12mm}

ergibt nach den Euler-Lagrange-Gleichungen
\vspace{-12mm}

\[ {\partial {\cal L}\over \partial A_\nu} 
-\partial_\mu\biggl ({\partial {\cal L}\over \partial (\partial_\mu A_\nu )}\biggr ) =0 \]
\vspace{-12mm}

die Feldgleichungen im Vakuum und
\vspace{-3mm}

\begin{center}
\Red{\fbox{${\cal L} = -{1\over 4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} - j^\nu A_\nu$}}
\end{center}
\vspace{-3mm}

die Feldgleichungen mit Quellen, wie leicht zu verifizieren ist.
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{large}
\Blue{\bf 1.1.4.5\ Massive Vektorfelder}
\end{large}
\vspace{4mm}

Durch Einf\"uhrung eines lorentzinvarianten
Masseterms in der Lagrangedichte analog zur Klein-Gordon-Gleichung,
\vspace{-12mm}

\textRed
\[ {\cal L} = -{1\over 4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} + {1\over 2} M^2 A^\nu A_\nu \]
\textBlack
\vspace{-12mm}

erh\"alt man die Wellengleichung \Red{(Proca-Gleichung)} f\"ur Spin-1 Bosonen
mit Masse M (z.B.\ $W^\pm$, $Z^0$):
\vspace{-12mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
\partial_\mu (\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu ) + M^2 A^\nu &=& 0, \\
\Box A^\nu - \partial^\nu (\partial_\mu A^\mu ) + M^2 A^\nu &=& 0.
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-12mm}

Die 4-Divergenz des ersten Terms der Gleichung verschwindet, so da\ss\ f\"ur
massive Vektorfelder immer gilt \Red{$\partial_\mu A^\mu \equiv 0$}, d.h.\ die
Eichfreiheit ist durch Fixierung der Eichung verloren. 
Damit gilt f\"ur jede Komponente des Feldes $A^\nu (x)$ die Klein-Gordon-Gleichung
mit Masse:
\vspace{-12mm}

\textRed
\[  [\Box  + M^2] A^\nu =0\]
\textBlack
\vspace{-12mm}

mit der Nebenbedingung $\partial_\mu A^\mu =0$.
Der Massenterm in ${\cal L}$
ist offensichtlich nicht invariant unter der Eichtransformation des 4-Potentials.

Um die Eichinvarianz auch f\"ur massive Vektorbosonen zu retten, wird der
\Red{Higgs-Mechanismus mit spontaner Brechung der Eichsymmetrie} ben\"otigt.
\clearpage

Die ebenen Wellenl\"osungen f\"ur freie
massive Vektorbosonen besitzen im Gegensatz zum Photon 3 Polarisationfreiheitsgrade mit
zus\"atzlicher longitudinaler Polarisation bzw.\ transversaler Helizit\"at $\lambda =0$:
\vspace{-12mm}

\begin{eqnarray*}
\varepsilon_\mu (k;\lambda=\pm 1) &=& \mp {1\over\sqrt{2}} (0,1,\pm i,0); \\
\varepsilon_\mu (k;\lambda= 0) &=& \mp {1\over M} (k,0,0,E).
\end{eqnarray*}

\vspace{-12mm}
mit $k_\mu = (E,0,0,k)$, $k_\mu k^\mu = E^2-k^2 = M^2$ 

und $k_\mu \varepsilon^\mu =0$.
\vfill
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
