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% Vorlesung WS 2010/11
% Author: H. Kroha
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\begin{document}

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{\fancyplain{\scriptsize PD Dr.~H.~Kroha: Tests des Standardmodells der Teilchenphysik,
WS 2016/17}%
{\scriptsize PD Dr.~H.~Kroha: Tests des Standardmodells der Teilchenphysik, WS 2016/17}}

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\tabcolsep=1.5mm
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{large}
\Blue{\bf 1.2\ Eichsymmetrien und Wechselwirkungen}
\end{large}
\vspace{5mm}

F\"ur Quantenfelder k\"onnen die Gesetze der elektromagnetischen
Wechselwirkung aus einem Eichprinzip hergeleitet werden\hfill\break
(H.\ Weyl 1921, 1929).
\vspace{2mm}

\begin{large}
\Blue{\bf 1.2.1 Globale Eichinvarianz}
\end{large}
\vspace{2mm}

Die Erwartungswerte quantenmechanischer Observabler (einschlie\ss lich der Lagrangefunktion!)
\vspace{-12mm}

\[ <{\cal O}> = \int \psi^\ast {\cal O} \psi \]
\vspace{-12mm}

sind invariant unter \Red{globalen Phasenrotationen} der Wellenfunktion 
\vspace{-12mm}

\textRed
\[ \psi (x) \longrightarrow  \psi^\prime (x) =e^{iQ\alpha} \psi (x). \]
\textBlack
\vspace{-12mm}

Nur relative Phasen zwischen Zust\"anden sind me\ss bar.
\vspace{2mm}

Die Invarianz der Lagrangefunktion (Forminvarianz der Wellengleichung) unter Phasentransformationen
entspricht einer \Red{globalen U(1)-Symmetrie}, genannt \Red{``Eichsymmetrie'',} die nach dem
Noether'schen Theorem (E.~Noether, 1918) zur Erhaltung der Wahrscheinlichkeit und von Ladungen 
(inneren Quantenzahlen der Teilchenzust\"ande) f\"uhrt.
\vfill
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Invarianz der Lagrangedichte ${\cal L}(\phi,\phi^\ast ,\partial_\mu\phi ,\partial_\mu\phi^\ast )$
f\"ur skalare, komplexe Felder unter $U(1)$-Eichtransformationen
\vspace{-19mm}

\begin{eqnarray*}
\phi (x)&\longrightarrow& \phi^\prime (x) = e^{iQ\alpha}\phi (x),   \\
\phi^\ast (x)&\longrightarrow& \phi^{\ast\prime} (x) = e^{-iQ\alpha}\phi^\ast (x).
\end{eqnarray*}
\vspace{-19mm}

d.h.\ auch unter infinitesimalen Variationen der Felder
\vspace{-18mm}

\begin{eqnarray*}
\phi (x)&\longrightarrow& \phi^\prime (x) = \phi (x) +\delta\phi (x) = \phi (x) + iQ(\delta\alpha )\phi (x), \\
\phi^\ast (x)&\longrightarrow& \phi^{\ast\prime} (x) = \phi^\ast (x) +\delta\phi^\ast (x) = 
\phi^\ast (x) - iQ(\delta\alpha )\phi^\ast (x) 
\end{eqnarray*}
\vspace{-15mm}

bedeutet f\"ur beliebige ortsunabh\"angige $\delta\alpha$, 
(d.h.\ es gilt $\delta (\partial_\mu\phi ) = iQ(\delta\alpha )\partial_\mu \phi$):
\vspace{-13mm}

\begin{eqnarray*}
\delta {\cal L} &=& 
{\partial {\cal L}\over \partial\phi}\delta \phi
+ {\partial {\cal L}\over\partial (\partial_\mu \phi )}\delta (\partial_\mu \phi )
+ {\partial {\cal L}\over \partial\phi^\ast}\delta \phi^\ast
+{\partial {\cal L}\over\partial (\partial_\mu \phi^\ast )}\delta (\partial_\mu \phi^\ast )   \\
&=& \biggl [\partial_\mu {\partial{\cal L}\over\partial (\partial_\mu\phi )}\biggr ]iQ(\delta\alpha )\phi
+{\partial {\cal L}\over\partial (\partial_\mu \phi )}iQ(\delta\alpha )\partial_\mu \phi + c.c.\\
&=& iQ(\delta\alpha )\partial_\mu \biggl [{\partial {\cal L}\over\partial (\partial_\mu \phi )}\phi\biggr ]
- iQ(\delta\alpha )\partial_\mu \biggl [{\partial {\cal L}\over\partial (\partial_\mu \phi^\ast )}\phi^\ast\biggr ]
\equiv 0,
\end{eqnarray*}
\vspace{-13mm}

unter Verwendung der Euler-Lagrange-Gleichungen.

Es gilt folglich die Kontinuit\"atsgleichung 
\vspace{-11mm}

\[ \Red{\partial_\mu j^\mu = {\partial\over \partial t}\rho +\vec{\nabla}\cdot \vec{j} =0}\]
\vspace{-14mm}

f\"ur die 4-Stromdichte $j^\mu =(\rho ,\vec{j})$
der Ladung $Q=\int d^3 x \rho$:
\vspace{-11mm}

\[ \Red{j^\mu \equiv -iQ \biggl ({\partial {\cal L}\over \partial (\partial_\mu \phi )}\phi
 - {\partial {\cal L}\over \partial (\partial_\mu \phi^\ast )}\phi^\ast\biggr )} \]
\clearpage

so da\ss\ die Ladung $Q$ in einem abgeschlossenen System eine Erhaltungsgr\"o\ss e ist:
\vspace{-7mm}

\[ \Red{{d\over dt} Q =0.} \]
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{large}
\Blue{\bf 1.2.2 Lokale Eichsymmetrie}
\end{large}
\vspace{2mm}

Die quantenmechanischen Erwartungswerte sollen invariant sein unter 
\Red{lokaler}
Phasenwahl der Wellenfunktionen oder Felder, d.h.\ unabh\"angig an verschiedenen Raum-Zeit-Punkten:
\vspace{-12mm}

\textRed
\[ \psi (x) \longrightarrow  \psi^\prime (x) =e^{iQ\alpha (x)} \psi (x). \]
\vspace{-12mm}
\textBlack

Ortsabh\"angige Phasentransformationen (lokale Eichtransfor\-ma\-tio\-nen)
bedeuten f\"ur die Ableitungen der Felder in den Wellengleichungen:
\vspace{-12mm}

\[ \partial_\mu \psi (x) \longrightarrow \partial_\mu \psi^\prime (x)=
e^{iQ\alpha (x)}[\partial_\mu \psi (x) + iQ(\partial_\mu\alpha (x))\psi (x)]. \]
\vspace{-12mm}

Invarianz der Lagrangedichte und
Forminvarianz der Wellengleichungen kann erreicht werden, indem die
gew\"ohnliche Ableitung durch eine \Red{eich-kovariante Ableitung} ersetzt
wird:
\vspace{-12mm}

\[ \Red{\partial_\mu \longrightarrow D_\mu \equiv \partial_\mu +ieQA_\mu (x),} \]
\vspace{-12mm}

wobei $q=eQ$ die elektrische Ladung des Feldes $\psi (x)$ ist ($e=$ Elementarladung, $Q=$
Ladungsquantenzahl) und $A_\mu (x)$ das 4-Potential des elektromagnetischen Feldes, das sog.\
Eichvektorfeld zur Eichgruppe U(1) mit Spin 1, das unter den Phasenrotationen
transformiert wie
\vspace{-12mm}

\[ \Red{A_\mu (x) \longrightarrow A_\mu^\prime (x)= A_\mu (x)- {1\over e}\partial_\mu \alpha (x)} \]
\vspace{-12mm}

($\equiv$ Eichtransformation des elektromagnetischen Feldes).
\clearpage

Damit gilt
\vspace{-12mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
D_\mu \psi (x) &=& (\partial_\mu +ieQA_\mu )\psi \longrightarrow \\
D_\mu^\prime \psi^\prime (x) &=& 
(\partial_\mu + ieQA^\prime_\mu (x)) e^{iQ\alpha (x)} \psi (x) \\
&=& e^{iQ\alpha (x)} [\partial_\mu + iQ\partial_\mu\alpha (x) +ieQA_\mu (x) - iQ\partial_\mu \alpha (x)]
\psi (x)\\
&=& e^{iQ\alpha (x)} [\partial_\mu + ieQA_\mu (x)] \psi (x) \equiv e^{iQ\alpha (x)} D_\mu \psi (x)
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-12mm}

und $\psi^\ast D_\mu \psi$ ist invariant unter lokalen Phasentransformationen. 
\vspace{2mm}

Dies wurde durch die Einf\"uhrung einer Wechselwirkung f\"ur das Feld $\psi$, der
elektromagnetischen Wechselwirkung f\"ur die U(1)-Phasentransformationen, erreicht.
\vspace{1mm}

Die globale U(1)-Symmetrie der Feldgleichungen f\"ur $\psi (x)$ f\"uhrt zur Erhaltung der elektrischen Ladung,
der Quellen des Eichfeldes, auch bei Wechselwirkung mit dem elektromagnetischen Feld.
Die Eichfeldgleichungen mit der zugeh\"origen Eichinvarianz enthalten automatisch Ladungserhaltung.
\vspace{3mm}

Die Wechselwirkung (Kopplungsterme zwischen Materiefeld $\psi (x)$ 
und Eichwechselwirkungsfeld $A_\mu (x)$)
ist (eindeutig) festgelegt durch die Forderung der lokalen Phaseninvarianz, das \Red{lokale Eichprinzip},
d.h.\ durch die \Red{kovariante Ableitung}  
\vspace{-12mm}

\[ D_\mu \psi (x) = \partial_\mu\psi (x) \Red{+ ieQA_\mu (x)\psi (x)} \]
\vspace{-12mm}

\Red{(minimale eichinvariante Kopplung).}
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{normalsize}
\Blue{\bf Beispiel 1:}
\end{normalsize}

\Blue{Elektromagnetische Wechselwirkung zwischen Fermionen (Elektronen) und dem
Photonfeld (QED):}

Die Lagrangedichte f\"ur das freie Dirac-Feld
\vspace{-12mm}

\[ \Red{{\cal L}_{\mathrm frei} = \overline{\psi} (i\gamma^\mu\partial_\mu -m)\psi} \]
\vspace{-12mm}

wird ersetzt durch die lokal eichinvariante Form mit minimaler Kopplung
\vspace{-12mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
{\cal L} &=& \overline{\psi} (i\gamma^\mu D_\mu -m)\psi  \\
&=& \overline{\psi} (i\gamma^\mu\partial_\mu -m)\psi -eQA_\mu\, \overline{\psi}\gamma^\mu \psi \\
&=& {\cal L}_{\mathrm frei} - j^\mu A_\mu
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-12mm}

mit dem (erhaltenen) elektromagnetischen Strom\hfill\break
\Red{$j^\mu = eQ\overline{\psi}\gamma^\mu \psi$.}

Zusammen mit der Lagrangedichte f\"ur das freie
elektromagnetische Feld ist die \Red{Lagrangedichte der Quantenelektrodynamik:}
\vspace{-12mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
{\cal L}_{QED} &=& {\cal L}^{\mathrm Photon}_{\mathrm frei} + {\cal L}^{\mathrm Fermion}_{\mathrm frei}
+ {\cal L}_{\mathrm WW} \\
&=& -{1\over 4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + \overline{\psi} (i\gamma^\mu\partial_\mu -m)\psi -j^\mu A_\mu \\
&=& -{1\over 4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + \overline{\psi} i\gamma^\mu\partial_\mu \psi 
- m\overline{\psi}\psi -j^\mu A_\mu \\
&=& {\cal L}^{\mathrm Photon}_{\mathrm kin} + {\cal L}^{\mathrm Fermion}_{\mathrm kin}
+ {\cal L}^{\mathrm Fermion}_{\mathrm Masse} + {\cal L}_{\mathrm WW} =T-V.
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-12mm}

Die Beitr\"age zur gesamten Lagrangedichte sind additiv und erf\"ullen die U(1)-Eichinvarinz.
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{normalsize}
\Blue{\bf Beispiel 2:}
\end{normalsize}

\Blue{Elektromagnetische Wechselwirkung zwischen geladenen}\hfill\break
\Blue{Spin-0-Bosonen und dem Photonfeld:}\hfill

Die Lagrangedichte f\"ur das freie Klein-Gordon-Feld 
\vspace{-12mm}

\[ \Red{{\cal L}_{\mathrm frei} = \partial_\mu \phi^\ast \partial^\mu\phi - m^2\phi^\ast \phi} \]
\vspace{-12mm}

wird ersetzt durch die lokal eichinvariante Form mit minimaler Kopplung ($q=eQ$)
\vspace{-12mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
{\cal L} &=& -{1\over 4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + (D_\mu \phi)^\ast D^\mu\phi - m^2\phi^\ast\phi \\
&=& -{1\over 4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + \partial_\mu \phi^\ast\partial^\mu\phi - m^2\phi^\ast\phi \\
&& -iq [\phi^\ast\partial^\mu \phi - (\partial^\mu \phi^\ast)\phi ] A_\mu + q^2 A_\mu A^\mu \phi^\ast\phi \\
&=& {\cal L}_{\mathrm frei} - j^\mu A_\mu + q^2 A_\mu A^\mu \phi^\ast \phi \\
&=& {\cal L}^{\mathrm Photon}_{\mathrm kin} + {\cal L}^{\mathrm Boson}_{\mathrm kin} 
+ {\cal L}^{\mathrm Boson}_{\mathrm Masse} + {\cal L}_{\mathrm WW}.
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-12mm}

Dabei ist \Red{$j^\mu = iq [\phi^\ast\partial^\mu \phi - (\partial^\mu \phi^\ast)\phi ]$}
der erhaltene elektromagnetische Strom f\"ur die freien Bosonen.

Nach dem Noether-Theorem hat der
erhaltene Strom f\"ur die an das Photonfeld koppelnden Bosonen eine andere Form.
Der Wechselwirkungsterm erh\"alt einen zus\"atzlichen Beitrag in der Form einer Kontaktwechselwirkung
zwischen Photonen und Materie-Bosonen (eich- und lorentzinvariant).

\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{large}
\Blue{\bf 1.2.3 Nicht-Abelsche Eichsymmetrien}
\end{large}
\vspace{5mm}

\begin{normalsize}
\Blue{\bf Beispiel:}
\end{normalsize}

\Blue{Erweiterung der Isospinsymmetrie $SU(2)$
zu einer lokalen Eichsymmetrie (Yang, Mills 1954):}\hfill
\vspace{3mm}

Freie Lagrangefunktion f\"ur Nukleonen (Proton, Neutron):
\vspace{-10mm}

\textRed
\[ {\cal L}_0 =\bar{\psi}I(i\gamma^\mu\partial_\mu -m)\psi .\]
\textBlack
\vspace{-13mm}

Proton und Neutron bilden dabei ein Isotopenspindublett (2-dimensionale Darstellung
der Isospingruppe).
\vspace{-10mm}

\textRed
\[ \psi = \left(\begin{array}{c} p \\ n \\ \end{array}\right).  \]
\textBlack
\vspace{-10mm}

Beide Fermionfelder  $p(x)$ und $n(x)$ sind jeweils 4-Spinoren.

Die freie Lagrangefunktion ohne Wechselwirkung ist diagonal im 2-dimensionalen
Isospinraum (2-dim.\ Einheitsmatrix $I$) und invariant unter globalen Isospinrotationen
\vspace{-10mm}

\textRed
\[ \psi (x) \longrightarrow \psi^\prime (x) 
= e^{i\Blue{\vec{\alpha}}\cdot\vec{I}}\psi (x) 
= e^{i\Blue{\vec{\alpha}}\cdot\vec{\tau}/2}\psi (x),  \]
\textBlack
\vspace{-14mm}

wobei $\vec{\tau}$ der 3-Isovektor der Pauli'schen $2\times 2$ Spinmatrizen ist
(die drei Generatoren der Isospingruppe $SU(2)$, $\vec{I}=\vec{\tau}/2$,
in der fundamentalen 2-dimensionalen Darstellung; Bezeichnung $\vec{\tau}$ statt $\vec{\sigma}$
f\"ur den Isospin).
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Wie bei der $U(1)$-Symmetrie der elektromagnetischen Wechselwirkung:

\"Ubergang zu einer \Red{lokalen $SU(2)$-Eichsymmetrie,} d.h.\ Forderung nach Invarianz
der Lagrangefunktion und Feldgleichungen unter \Red{lokalen Eichtransformationen}
\vspace{-10mm}

\textRed
\[ \psi (x) \longrightarrow \psi^\prime (x) 
= e^{i\Blue{\vec{\alpha}(x)}\cdot\vec{\tau}/2}\psi (x)
\equiv G(x)\psi (x). \]
\textBlack
\vspace{-10mm}

Damit transformiert der 4-Gradient des Feldes wie
\vspace{-10mm}

\textRed
\[ \partial_\mu\psi (x) \longrightarrow G(x)(\partial_\mu\psi (x)) +(\partial_\mu G(x))\psi (x). \]
\textBlack
\vspace{-10mm}

$\Longrightarrow$ Einf\"uhren einer \Red{kovarianten Ableitung} (kovariant unter den lokalen
Eichtransformationen $G(x)$):
\vspace{-10mm}

\textRed
\[ D_\mu (x)= I\partial_\mu + ig B_\mu (x) \]
\textBlack
\vspace{-10mm}

mit der $2\times 2$-Einheitsmatrix $I$ auf dem Isospinraum und einer Kopplungskonstanten
$g$, die die St\"arke der Eichwechselwirkung angibt.
\clearpage

Das Eichvektorfeld $B_\mu (x)$ ist eine $2\times 2$-Matrix auf dem Isospinraum, definiert durch
($a=1,2,3$):
\vspace{-10mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
B^\mu (x) &=& {1\over 2} \vec{\tau}\cdot \vec{b}^\mu (x) = {1\over 2} \tau_a b_a^\mu (x) \\
&=&{1\over 2} \left(\begin{array}{cc} b^\mu_3 (x) & b^\mu_1 (x)-ib^\mu_2 (x)\\
b^\mu_1 (x)+ib^\mu_2 (x) & -b^\mu_3 (x)\\ \end{array}\right) 
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-10mm}

mit dem Isovektor $\vec{b}_\mu = (b^\mu_1,b^\mu_2,b^\mu_3)$ der \Red{drei Eichvektorfelder $b_i (x)$,} die den
\Red{drei Generatoren (Ladungsoperatoren) der $SU(2)$-Eichsymmetrie $\vec{I} =\vec{\tau}/2$} entsprechen.

Um die lokale nicht-Abelsche $SU(2)$-Eichsymmetrie zu erhalten,
m\"ussen also 3 neue Eichvektorpotentiale eingef\"uhrt werden, die 3 Eichbosonfeldern entsprechen, die
die Eichwechselwirkungen vermitteln. 

(Dies erinnert an die 3 Austauschteilchen $W^\pm$ und $Z^0$ der
schwachen Wechselwirkung, die ebenfalls globale $SU(2)$-Symmetrie besitzt, aber an Quark- und Leptonfelder
koppelt.)
\vspace{3mm}

Die kovariante Ableitung soll unter lokalen Eichtransformationen ebenso transformieren wie
die Felder, um die lokale Eichinvarianz der Lagrangefunktion zu gew\"ahrleisten, d.h.
\vspace{-10mm}

\textRed
\[ D_\mu \psi \longrightarrow D^\prime_\mu\psi^\prime = G(x) (D_\mu \psi ). \]
\textBlack
\clearpage

Diese Forderung definiert das Transformationsverhalten
der Eichvektorfelder:
\vspace{-13mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
D^\prime_\mu\psi^\prime &=& (\partial_\mu + ig B^\prime_\mu) \psi^\prime \\
&=& G(\partial_\mu \psi ) + (\partial_\mu G)\psi + igB_\mu^\prime (G\psi ) \\
&\equiv& G(\partial_\mu +ig B_\mu )\psi \\
&=& G(\partial_\mu\psi ) + ig G(B_\mu \psi ) 
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-12mm}

und damit                                                                                                     
\vspace{-13mm}

\textRed
\[ ig B_\mu^\prime (G\psi ) = ig G(B_\mu \psi) - (\partial_\mu G)\psi \]
\textBlack
\vspace{-12mm}

f\"ur beliebige Werte des Nukleonfelds $\psi$, d.h.\ nach Multiplizieren mit $G^{-1}$:
\vspace{-12mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
B_\mu^\prime &=& GB_\mu G^{-1} +{i\over g} (\partial_\mu G)G^{-1} \\
&=& G\biggl [B_\mu +{i\over g} G^{-1} (\partial_\mu G)\biggr ]G^{-1}.
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-12mm}

Dies ist die nicht-Abelsche Verallgemeinerung der $U(1)$-Eichtransformation des
elektromagnetischen Potentials (Isoskalar), die analog lautet:
\vspace{-15mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
A_\mu^\prime &=& G_{EM} A_\mu G_{EM}^{-1} +{i\over eQ} (\partial_\mu G_{EM})G_{EM}^{-1} \\
&\equiv& A_\mu -{1\over e}\partial_\mu \alpha (x)
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-15mm}

mit der lokalen $U(1)$-Eichtransformation
\vspace{-12mm}

\textRed
\[ G_{EM}(x) =e^{iQ\alpha(x)}. \]
\textBlack

\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{large}
\Blue{\bf 1.2.4 Eichsymmetrien und Gruppentheorie}
\end{large}
\vspace{5mm}

Eichsymmetrien werden durch sog. \Red{Lie-Gruppen} beschrieben:

Gruppen von Transformationen $g(\alpha )$, die durch einen Satz kontinuierlicher Parameter $\alpha_a$
$(a=1,...,n)$ beschrieben werden und analytische Funktionen dieser Parameter sind. 

Sie lassen
sich aus infinitesimal kleinen Transformationen nahe der Einheitstransformation I,
\vspace{-10mm}

\[ \Red{\delta g = g(\delta\alpha ) = I + i\delta\alpha^a T^a + {\cal O}(\delta\alpha^2),} \]
\vspace{-15mm}

zusammensetzen.
$T^a$ $(a=1,...,n)$ sind 
die \Red{Erzeugenden} oder \Red{Generatoren} der Gruppe.
\vspace{2mm}

Alle Gruppenelemente lassen sich in der Form
\vspace{-10mm}

\[ \Red{g(\alpha ) = e^{i\alpha^a T^a}} \]
\vspace{-17mm}

darstellen (Phasentransformationen der Wellenfunktion).

Die Transformationen sind \Red{unit\"ar,} wenn die Erzeugenden \Red{hermitesch} sind.
Alle Darstellungen endlicher (endliche Zahl von Parametern) oder kompakter
(beschr\"ankter Parameterraum) Lie-Gruppen lassen sich darauf zur\"uckf\"uhren (geeignete
Parametrisierung).

Unitarit\"at ist wegen der Erhaltung der Wahrscheinlichkeit 
eine Bedingung f\"ur Symmetrietransformationen von Zust\"anden in der
Quantenmechanik.
\vfill
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Die hermiteschen Generatoren sind quantenmechanische Observable und Erhaltungsgr\"o\ss en.

Jeder Satz von $n$ linear unabh\"angigen Generatoren einer Lie-Gruppe erf\"ullt die 
Vertauschungs\-relationen
\vspace{-10mm}

\[ \Red{[T^a,T^b]=T^aT^b - T^bT^a = if^{abc}T^c} \]
\vspace{-10mm}

mit den i.a.\ komplexen \Red{Strukturkonstanten $f^{abc}$} und $[T^a,T^b] = - [T^b,T^a]$.
\vspace{2mm}

Mit der Vertauschung als zus\"atzlicher Operation bilden die Generatoren eine sog.\
\Red{Lie-Algebra.} Die Strukturkonstanten sind spezifisch f\"ur die Lie-Algebra.
Sie h\"angen aber von der Wahl der unabh\"angigen Generatoren und damit der Parameter der Gruppe ab.\hfill\break

Die Zahl der unabh\"angigen Parameter bzw.\ der Generatoren (Ladungsoperatoren) hei\ss t die
\Red{Ordnung $n$} einer Lie-Gruppe.\hfill\break
Die maximale Anzahl der miteinander vertauschenden und damit simultan diagonalisierbaren Generatoren
ist der \Red{Rang $r$} der Gruppe.
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\Blue{F\"ur das Standardmodell sind die folgenden Lie-Gruppen relevant:}

1) die einzige \Red{kommutative} oder \Red{Abelsche} Lie-Gruppe U(1) der unit\"aren 
1-dim.\ Phasentransformationen mit Ordnung und Rang 1 und
 
2) die Gruppen $SU(N)$ ($N\ge 2$) der \Red{speziellen unit\"aren Transformationen} N-dimensionaler
komplexer Vektoren mit $U^\dagger U=1$ und Det$(U)=1$.\hfill\break
Sie erhalten das komplexe Betragsquadrat der Vektoren.

Die Generatoren $T=T^\dagger$ lassen sich \Red{darstellen} als hermitesche $n\times n$-Matrizen
mit Spur$(T)=0$ auf einem n-dimensionalen Vektorraum (Darstellungsraum).\hfill\break
Die \Red{fundamentale Darstellung} ist die mit der niedrigsten Dimension $n$. Sie entspricht den
Multipletts der fundamentalen Teilchenzust\"ande.

Es gibt $2N^2-N^2- 1= N^2-1$ unabh\"angige Matrizen dieser Art und damit Generatoren und
unabh\"angige Parameter der Gruppe. F\"ur die Gruppen $SU(N)$ ist der Rang $N-1$ und gibt
gleichzeitig die Zahl der verschiedenen fundamentalen Darstellungen an.
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
