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% Vorlesung WS 2010/11
% Author: H. Kroha
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\begin{document}

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{\fancyplain{\scriptsize PD Dr.~H.~Kroha: Tests des Standardmodells der Teilchenphysik,
WS 2016/17}%
{\scriptsize PD Dr.~H.~Kroha: Tests des Standardmodells der Teilchenphysik, WS 2016/17}}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{large}
\Blue{\bf 1.2.4.1 Symmetriegruppen: Lie-Gruppen}
\end{large}
\vspace{2mm}

Invarianz der Lagrange-Funktion bzw.\ Kovarianz der Bewegungsgleichungen
unter Symmetrie\-trans\-for\-ma\-tionen f\"uhrt zu Erhaltungss\"atzen
und einer Klassifizierung der quantenmechanischen Teilchenzust\"ande (L\"osungen
der Bewegungsgleichungen) nach Quantenzahlen, die zu Erhaltungsgr\"o\ss en geh\"oren 
(Teilchen-Multipletts).

Die Symmetrietransformationen bilden Symmetriegruppen.

Die f\"ur innere Symmetrien der Teilchen und Eichsymmetrien relevanten Symmetriegruppen
sind die sog.\ Lie-Gruppen.

Gruppen von Transformationen $g(\alpha )$, die durch einen Satz kontinuierlicher Parameter $\alpha_a$
$(a=1,...,n)$ beschrieben werden und analytische Funktionen dieser Parameter sind. 

Sie lassen
sich aus infinitesimal kleinen Transformationen nahe der Einheitstransformation I,
\vspace{-10mm}

\[ \Red{\delta g = g(\delta\alpha ) = I + i\delta\alpha^a T^a + {\cal O}(\delta\alpha^2),} \]
\vspace{-15mm}

zusammensetzen.
$T^a$ $(a=1,...,n)$ sind 
die \Red{Erzeugenden} oder \Red{Generatoren} der Gruppe.
\clearpage

Alle Gruppenelemente lassen sich in der Form
\vspace{-10mm}

\[ \Red{g(\alpha ) = e^{i\alpha^a T^a}} \]
\vspace{-10mm}

darstellen (Phasentransformationen der Wellenfunktion).

Die Transformationen sind \Red{unit\"ar,} wenn die Erzeugenden \Red{hermitesch} sind.
Alle Darstellungen endlicher (endliche Zahl von Parametern) oder kompakter
(beschr\"ankter Parameterraum) Lie-Gruppen lassen sich darauf zur\"uckf\"uhren (geeignete
Parametrisierung).

Unitarit\"at ist wegen der Erhaltung der Wahrscheinlichkeit 
eine Bedingung f\"ur Symmetrietransformationen von Zust\"anden in der
Quantenmechanik.

Die hermiteschen Generatoren sind quantenmechanische Observable und Erhaltungsgr\"o\ss en.

Sie spannen einen $n$-dimensionalen Vektorraum hermitescher Operatoren auf.
\clearpage

Jeder Satz von $n$ linear unabh\"angigen Generatoren einer Lie-Gruppe erf\"ullt die 
Vertauschungs\-relationen
\vspace{-10mm}

\[ \Red{[T^a,T^b]=T^aT^b - T^bT^a = if^{abc}T^c} \]
\vspace{-10mm}

mit den i.a.\ komplexen \Red{Strukturkonstanten $f^{abc}$} und $[T^a,T^b] = - [T^b,T^a]$.
\vspace{2mm}

Mit der Vertauschung als zus\"atzlicher Operation bilden die Generatoren eine sog.\
\Red{Lie-Algebra.} Die Strukturkonstanten sind spezifisch f\"ur die Lie-Algebra.
Sie h\"angen aber von der Wahl der unabh\"angigen Generatoren und damit der Parameter der Gruppe ab.\hfill\break
Verschiedene Lie-Gruppen k\"onnen die gleiche Lie-Algebra besitzen (z.B.\ die Drehimpulsgruppen
$SO(3)$ und $SU(2)$).
\vspace{1mm}

Aufgrund der Vertauschungsrelation und der Jacobi-Identit\"at f\"ur Kommutatoren,
\vspace{-10mm}

\[ [T^a,[T^b,T^c]] + [T^b,[T^c,T^a]] + [T^c,[T^a,T^b]] \equiv 0, \]
\vspace{-10mm}

mu\ss\ f\"ur die Strukturkonstanten gelten:
\vspace{-10mm}

\[ \Red{f^{ade} f^{bcd} + f^{bde} f^{cad} + f^{cde} f^{abd} = 0.} \]
\vspace{-10mm}

Die Zahl der unabh\"angigen Parameter (Ladungen) bzw.\ der Generatoren ist die \Red{Ordnung $n$}
einer Lie-Gruppe.\hfill\break
Die maximale Anzahl der miteinander vertauschenden und damit simultan diagonalisierbaren Generatoren
ist der \Red{Rang $r$} der Gruppe.
\vfill

\clearpage

{\bf Klassifizierung der Lie-Gruppen:}
\vspace{2mm}

A) Die einzige \Red{kommutative} oder \Red{Abelsche Lie-Gruppe} ist die \Red{Gruppe U(1)} der unit\"aren
1-dimensionalen Phasentransformationen\hfill\break
$\psi\to e^{i\alpha} \psi$ (entspricht Drehungen in der Ebene $SO(2)$).

B) Allgemeine Lie-Algebren lassen sich als direkte Produkte aus \Red{einfachen} Lie-Algebren, die nicht
weiter in Produkte von Untergruppen zerlegt werden k\"onnen,
sowie der kommutativen Lie-Algebra $U(1)$ darstellen.

C) Die \Red{einfachen} und kompakten (s.o.) Lie-Algebren lassen sich in 4 Klassen einteilen, die
durch Transformationsgruppen definiert sind:
\vspace{-7mm}

\begin{enumerate}

\item  \Red{Spezielle unit\"are Transformationen $U$ N-dimensionaler Vektoren: $SU(N)$ $(N\ge 2)$}

mit $U^\dagger U=1$ und Det$(U)=1$. Sie erhalten das komplexe Betragsquadrat der Vektoren.

Die Generatoren $T=T^\dagger$ lassen sich darstellen als hermitesche $N\times N$-Matrizen
mit Spur$(T)=0$, die auf einem N-dimensionalen Vektorraum transformieren.\hfill\break
Dabei handelt es sich um eine
\Red{fundamentale Darstellung}, die die niedrigste Dimension $N$ besitzt (s.u.).

Es gibt $2N^2-N^2- 1= N^2-1$ unabh\"angige Matrizen dieser Art und damit Generatoren und
unabh\"angige Parameter der Gruppe. $SU(N)$ hat den Rang $N-1$.
\clearpage

\item \Red{Reelle orthogonale Transformationen $O$ N-dimensionaler Vektoren: $SO(N)$}

mit $O^T O=1$ und Det$(O)=1$. Sie erhalten das reelle Betragsquadrat der Vektoren.

$SO(N)$ besitzt $N(N-1)/2$ Generatoren und hat den Rang $r= N/2$ bzw. $(N-1)/2$ (ganzzahlig).
\vspace{-3mm}

\item \Red{Symplektische Transformationen $Sp(2N)$ ($N\ge 3$):}\hfill\break
darstellbar durch reelle $2N\times 2N$ Matrizen,
die die Matrix $M$ mit $M_{i,i-1} = - M_{i-1,i}$ und sonst $M_{ij} =0$ invariant lassen
mit Ordnung $n=N(2N+1)$ und Rang $r=N$.
\vspace{-3mm}

\item \Red{Exzeptionelle Lie-Algebren} ($n=$ Ordnung, $r=$ Rang):\hfill\break
\vspace{-7mm}

\Red{$G_2$} ($n=\hphantom{2}14$, $r=2$)\hfill\break
\Red{$F_4$} ($n=\hphantom{2}52$, $r=4$)\hfill\break
\Red{$E_6$} ($n=\hphantom{2}78$, $r=6$)\hfill\break
\Red{$E_7$} ($n=           133$, $r=7$)\hfill\break
\Red{$E_8$} ($n=           248$, $r=8$).\hfill\break

\end{enumerate}
\vfill
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{large}
\Blue{\bf 1.2.4.2 Darstellungen von Gruppen}
\end{large}
\vspace{5mm}

Die \Red{Darstellung einer Gruppe $G$} ist definiert als die Abbildung 
\vspace{-10mm}

\[ \Red{\theta: G\longrightarrow T} \]
\vspace{-17mm}

auf eine Gruppe $T$ \Red{linearer Transformationen} auf einem N-dimensionalen Vektorraum $V$.

Mit den linearen Transformationen $D(s)\in T$ gilt:
\vspace{-12mm}

\[ \Red{s\cdot t\longrightarrow D(s)\cdot D(t)}\]
\vspace{-10mm}

und damit $D(e)=I$ und $D(s^{-1})=D^{-1}(s)$.
\vspace{2mm}

Der Vektorraum $V$ ist der Darstellungsraum. Seine Dimension $N$ ist die Dimension der
Darstellung.

Nach Wahl einer Basis im Darstellungsraum k\"onnen die linearen Transformationen als $N\times N$-Matrizen
dargestellt werden.
\vspace{2mm}

Die \Red{fundamentalen Darstellungen} sind diejenigen mit der niedrigsten Dimension ($>1$ f\"ur
nicht-Abelsche Gruppen, da 1-dimensionale Matrizen immer kommutieren).
\clearpage

Bei \Red{reduziblen Darstellungen} kann der Darstellungsraum in invariante Unterr\"aume
zerlegt werden, die zueinander orthonormale Basen besitzen.
\vspace{2mm}

\Red{Irreduzible Darstellungen} transformieren auf invarianten Darstellungsr\"aumen, die
nicht in kleinere invariante Unterr\"aume zerlegt werden k\"onnen.
\vspace{6mm}

Die Suche nach Eigenvektoren und Eigenwerten der Symmetrieoperatoren entspricht
der Konstruktion irreduzibler Darstellungen der Symmetriegruppen.\hfill\break
\clearpage

Die Teilchenfelder m\"ussen nach unit\"aren Darstellungen der Symmetriegruppen der
Lagrangefunktion transformieren. 
Sie geh\"oren sog.\ \Red{Multipletts} an, den N-dimensionalen
irreduziblen Eigenr\"aumen der Symmetrietransformationen.
\vspace{2mm}

Der Rang der Gruppe gibt die Zahl der gleichzeitig diagonalisierbaren Symmetrieoperatoren
(Generatoren) an und damit die Zahl der Parameter, die die Multipletts beschreiben,
z.B.\ $J_z$ f\"ur die Drehimpuls- oder Isospingruppe $SU(2)$ (Rang $r=2-1 =1$) und ($I_3$, $Y=2(Q-I_3)$)
f\"ur die $SU(3)$-Symmetrie der Quark-flavours $u,d,s$ (Rang $r=3-1=2$).
\vspace{2mm}

\Red{F\"ur $SU(N)$ gilt: der Rang der Gruppe $= N-1 =$ Zahl der fundamentalen Darstellungen.}
\vspace{4mm}

Da der Hamilton-Operator mit dem Drehimpuls und den
Operatoren f\"ur andere innere Symmetrien
vertauscht, m\"ussen alle Teilchenzust\"ande eines Multipletts einer inneren Symmetrie
die \Red{gleiche Masse und den gleichen Spin} besitzen; 
andernfalls ist die Symmetrie mehr oder minder stark gebrochen.

\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{large}
\Blue{\bf 1.2.4.3 Symmetrien in der Quantenmechanik}
\end{large}
\vspace{5mm}

Symmetrietransformationen der Wellenfunktion lassen die
Schr\"odingergleichung
\vspace{-10mm}

\textRed
\[ i{\partial\psi (\vec{x},t)\over \partial t} = \widehat{H}\psi (\vec{x},t) \]
\textBlack
\vspace{-12mm}

invariant, d.h.\ die transformierten Zust\"ande
\vspace{-12mm}

\textRed
\[ \psi^\prime (\vec{x},t) = \widehat{U} \psi (\vec{x},t) \]
\textBlack
\vspace{-12mm}

erf\"ullen die gleiche Schr\"odingergleichung, wenn $\widehat{U}$ nicht von der Zeit abh\"angt und
der Hamiltonoperator $\widehat{H}$ invariant ist unter den Transformationen:

\textRed
\vspace{-12mm}
\[ \widehat{U} \widehat{H} \widehat{U}^\dagger \equiv \widehat{H}, \]
\textBlack
\vspace{-15mm}

d.h.\ Hamiltonoperator und Transformationsoperator $\widehat{U}$ vertauschen:

\vspace{-15mm}
\textRed
\[ [\widehat{H}, \widehat{U}] =0.  \]
\textBlack
\vspace{-15mm}

Die Transformationsoperatoren auf dem Hilbertraum der Wellenfunktionen
sind unit\"are Transformationen, \Red{$UU^\dagger =U^\dagger U =1,$}
damit die Erhaltung der Wahrscheinlichkeit gew\"ahrleistet ist, d.h.\ der
Betrag der Wellenfunktion \"andert sich nicht.
\clearpage

{\bf Beispiele f\"ur Symmetrietransformationen der Wellen-}\hfill\break
{\bf funktion} ("Rotationen'' im Hilbertraum: Phasentransformationen):\hfill
\vspace{-10mm}

\begin{enumerate}

\item Zeittranslationen: \Red{$\widehat{U}= e^{-i\widehat{H}t}$}

Infinitesimal:
\vspace{-7mm}
\[ \psi^\prime (\vec{x},t) = (1-i\widehat{H}\delta t)\psi (\vec{x},t) = 
\psi (\vec{x},t) + {\partial \psi (\vec{x},t)\over\partial t}\delta t.\]
\vspace{-15mm}

\item R\"aumliche Translationen: \Red{$\widehat{U}= e^{-i\widehat{\vec{p}}\cdot\vec{x}}$}

Infinitesimal:
\vspace{-7mm}
\[ \psi^\prime (\vec{x},t) = (1-i\widehat{\vec{p}}\cdot \delta \vec{x})\psi (\vec{x},t) =
\psi (\vec{x},t) - \delta\vec{x}\cdot \vec{\nabla} \psi (\vec{x},t).\]
\vspace{-15mm}

\item Rotationen im Raum: \Red{$\widehat{U}= e^{-i\widehat{\vec{J}}\cdot\vec{\alpha}}$}

Infinitesimal:
\vspace{-7mm}
\[ \psi^\prime_\beta (\vec{x},t) = (1-i\widehat{\vec{J}}_{\beta\gamma}\cdot \delta \vec{\alpha})
\psi_{\gamma} (\vec{x},t). \]

\end{enumerate}
\vspace{-3mm}

Die infinitesimalen (unit\"aren) Transformationen werden durch die (hermiteschen) Operatoren der konjugierten
Observablen (Energie$\leftrightarrow$ Zeit, Impuls$\leftrightarrow$ Ort,
Drehimpuls$\leftrightarrow$ Drehwinkel) ``erzeugt'': \Red{Generatoren} der
Transformationen von (nicht-kompakten) Lie-Gruppen.
\vspace{-3mm}

\begin{itemize}

\item Die unit\"aren Symmetrietransformationen auf dem Hilbertraum (Phasentransformationen
der Wellenfunktion) haben Gruppeneigenschaften
mit der Hinter\-ein\-ander\-aus\-f\"uhr\-ung als Gruppenoperation.

Sie sind spezielle \Red{Darstellungen} der (kontinuierlichen) Symmetriegruppen der
Raum- und Zeittranslationen, der r\"aumlichen Rotationen usw.
\vfill
\clearpage

\item Operatoren $\widehat{O}$, die mit dem Hamiltonoperator vertauschen, sind Konstanten der
Bewegung und entsprechen erhaltenen Observablen, d.h.
\vspace{-10mm}

\textRed
\[  i{d \widehat{O}\over dt} = [\widehat{H},\widehat{O}] =0. \]
\textBlack
\vspace{-15mm}

\item Observable, die mit dem Hamiltonoperator vertauschen, 
lassen sich \Red{gleichzeitig mit ihm diagonalisieren,}
d.h.\ die Eigenzust\"ande von $\widehat{H}$ (station\"are L\"osungen der Schr\"odingergleichung)
sind gleichzeitig Eigenzust\"ande von Impuls, Drehimpuls usw.\ mit festen Eigenwerten.
\vspace{3mm}

Symmetrieoperationen, die mit dem Hamiltonoperator vertauschen, 
f\"uhren zur \Red{Entartung}
der Energieeigenzust\"ande des Hamiltonoperators, 
d.h.\ die Eigenzust\"ande zu festen
Energieeigenwerten bilden 
unter den Symmetrie\-trans\-for\-ma\-tionen invariante Unterr\"aume des Hilbertraums (\Red{Eigenr\"aume}
zu den Darstellungen der Symmetrietransformationen mit bestimmter Dimension).
\vspace{3mm}

Die Symmetrieeigenschaften des Hamiltonoperators und Erhaltungss\"atze erleichtern damit
die L\"osung der Schr\"odingergleichung und die Bestimmung der Eigenzust\"ande.

\end{itemize}
\clearpage

{\bf Beispiel: Drehimpulserhaltung:}

$\bullet$\hspace{3mm} \Red{$[\vec{J}, H] =0$}

\vspace{-8mm}
\textRed

\[ \Black{\bullet}
\left. \begin{array}{l} \mbox{$[J_x, J_y ]  = i J_z$} \\
\mbox{$[J_y, J_z ]  = i J_x$} \\
\mbox{$[J_z, J_x ]  = i J_y$}
\end{array} \right\}\hspace{6mm} [J_i, J_j ] = i\sum_k \varepsilon_{ijk} J_k\hspace{5mm} \Black{(i,j,k=x,y,z)} \]
\textBlack
\vspace{-15mm}

mit den Strukturkonstanten
\vspace{-10mm}

\[ \varepsilon_{i,j,k}=\left\{
\begin{array}{rl} $0,$ & \mbox{2 gleiche Indizes} \\
$+1,$ & \mbox{Indizes gerade Permutation von}\,\, x,y,z \\
$-1,$ & \mbox{Indizes ungerade Permutation von}\,\, x,y,z.
\end{array} \right. \]
\vspace{-10mm}

Mit $\vec{J}^2=J_x^2+J_y^2+J_z^2$ gilt:
\vspace{3mm}

$\bullet$\hspace{3mm} \Red{$[\vec{J},\vec{J}^2]=0,$}
\vspace{3mm}

d.h.\ gemeinsame Eigenzust\"ande von $J_i$ und $\vec{J}^2$. Spezielle Wahl: $J_z$ und $\vec{J}^2$
bei Spinquantisierungsrichtung in $z$-Richtung.

$J_x$, $J_y$, $J_z$ sind die \Red{Erzeugenden (Generatoren) der Drehgruppe $SO(3)$,} d.h.\
der Gruppe aller Drehungen im dreidimensionalen Raum, die aus Drehungen um drei unabh\"angige
Achsen zusammengesetzt werden k\"onnen (3 Euler-Winkel). 
\vfill

\clearpage

Eine Darstellung (Realisierung) der Drehgruppe $SO(3)$
sind reelle orthogonale $3\times 3$-Drehmatrizen, 
die die Vektoren im Raum drehen, ohne ihren Betrag zu \"andern, und
durch \Red{$9-6=3$} unabh\"angige Parameter (z.B.\ die Euler-Winkel) beschrieben werden.

\Red{Die Gruppe $SU(2)$ l\"a\ss t sich auf die Gruppe $SO(3)$ im Verh\"altnis 2:1 abbilden.}
Beide Gruppen sind \"aquivalent
in dem Sinne, da\ss\ die infinitesimalen Transformationen und die Generatoren identisch sind.
$SU(2)$ besitzt im Gegensatz zu $SO(3)$ auch Darstellungen zu halbzahligen Spineigenwerten und
damit geradzahligen Dimensionen.

Die definierende und fundamentale
Darstellung der $SU(2)$-Gruppe sind die komplexen unit\"aren $2\times 2$-Matrizen mit Determinante $=1$,
die ebenfalls durch \Red{$3=8-5$} unabh\"angige Parameter beschrieben werden.
\vfill

\clearpage

{\bf Alternative Erzeugende der Drehimpulsgruppe:}
\vspace{1mm}

$\bullet$ \Red{$J^+ =J_x+iJ_y$,\hspace{3mm} $J^-=J_x-iJ_y$}
\vspace{1mm}

mit
\vspace{1mm}

$\bullet$ \Red{$[J_z, J^+]=J^+$,\hspace{3mm} $[J_z, J^-]=-J^-$}
\vspace{1mm}

$\bullet$ \Red{$[J+, J^-]=2J_z$}
\vspace{1mm}

und damit
\vspace{1mm}

$\bullet$ \Red{$[\vec{J}^2, J^\pm]=0$.}

Es gilt: $\vec{J}^2 = {1\over 2}(J^+J^- + J^-J^+) + J_z^2.$
\clearpage

{\bf Eigenzust\"ande der Drehimpulsoperatoren:}
\vspace{2mm}

Simultane Diagonalisierung:
\vspace{-15mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
\vec{J}^2 |j,m> &=& j(j+1) |j,m>, \\
J_z |j,m> &=& m |j,m>.
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-10mm}

Definiert \Red{$(2j+1)$-dimensionale Eigenr\"aume} des Drehimpulses (und damit auch des Hamiltonoperators)
zu den Eigenwerten \Red{$j=0, 1/2, 1, 3/2,...$} und \Red{$m=-j,-j+1,...,j-1,j$} von $\vec{J}^2$ und $J_z$
(Singuletts, Dubletts, Tripletts usw.).
\vspace{2mm}

$J^\pm$ sind Auf- und Absteigeoperatoren in jedem Eigenraum:
\vspace{-10mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
J^+ |j,m> &=& |j,m+1>\hspace{5mm} (m<j), \\
          &=& 0\hphantom{|,m+1>}\hspace{5mm} (m=j), \\
J^- |j,m> &=& |j,m-1>\hspace{5mm} (m>-j), \\
          &=& 0\hphantom{|,m+1>}\hspace{5mm} (m=-j).
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vfill

\clearpage

{\bf Beispiel:}
\vspace{2mm}

Spin ${1\over 2}$-Zust\"ande mit Eigenwerten \Red{$j=1/2$, $m=\pm 1/2$.}
\vspace{2mm}

3 unabh\"angige hermitesche $2\times 2$-Spinmatrizen mit Spur $=0$ (entspricht Determinante $=1$
f\"ur die von ihnen erzeugten Rotationsmatrizen), die \Red{Pauli'schen Spinmatrizen:}
\vspace{-10mm}

\[ \sigma_x = \left (\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right ),
   \sigma_y = \left (\begin{array}{rr} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{array} \right ),
   \sigma_z= \left (\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array} \right ), \]
\vspace{-10mm}
\[ \vec{\sigma}^2 = \left (\begin{array}{rr} 3 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{array} \right ) =3\cdot I. \]
\vspace{-10mm}

in der Pauli-Darstellung, in der die Eigenwerte (s.o.) zur Eigenvektorbasis
\vspace{-10mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
|{1\over2},+{1\over 2}> &=& \left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ \end{array} \right), \\
|{1\over2},-{1\over 2}> &=& \left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ \end{array} \right)
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-10mm}

evident sind, d.h.\ mit $\vec{J} \equiv {1\over 2}\vec{\sigma}$ gilt
\vspace{-10mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
\vec{J}^2\,|{1\over2},\pm{1\over 2}> &=& \hphantom{\pm}{3\over 4}\,|{1\over 2},+{1\over 2}>, \\
J_z\,|{1\over2},\pm {1\over 2}> &=& \pm {1\over 2}\, |{1\over 2},+{1\over 2}>.
\end{eqnarray*}
\textBlack
\clearpage

Die Auf- und Absteigeoperatoren
reduzieren sich auf Projektionsoperatoren auf die beiden Zust\"ande Spin up/down:
\vspace{-10mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
J^+ ={1\over 2}(\sigma_x +i\sigma_y ) &=& 
\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right), \\
J^- ={1\over 2}(\sigma_x -i\sigma_y ) &=&
\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right).\\
\end{eqnarray*}
\textBlack
\clearpage

{\bf Addition von Drehimpulsen:}
\vspace{2mm}

Die Drehimpulszust\"ande von Teilchen mit Bahndrehimpuls und Spin oder
von zusammengesetzten Teilchen mit mehreren Komponenten mit Spin
entsprechen \Red{Produktdarstellungen} aus den Drehimpulsdarstellungen der
Komponenten, die im allgemeinen \Red{reduzibel} sind.

Die Zust\"ande des Gesamtdrehimpulses $\vec{J} = \vec{J_1} + \vec{J_2}$\hfill\break
mit \Red{$j= j_1 + j_2, j_1 + j_2 -1,...,|j_1-j_2|$} und \Red{$j_z = j_{z1} + j_{z2}$}\hfill\break
bilden $2j +1$-dimensionale \Red{irreduzible} Darstellungen
der $SU(2)$-Gruppe, die man durch Zerlegung (\Red{Ausreduzieren}) der reduziblen
Produktdarstellungen erh\"alt; z.B.:
\vspace{-13mm}

\[ \left (\begin{array}{ccc} \cdot & \cdot & \cdot \\ 
\cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot \\ \end{array} \right ) \otimes
   \left (\begin{array}{cc} \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot \\ \end{array} \right ) = \]
\vspace{-13mm}

\[=\left (\begin{array}{cccccc} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
                                \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
                                \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
                                \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
                                \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
                                \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
\end{array} \right ) \longrightarrow
   \left (\begin{array}{cccccc} \cdot & \cdot &       &       &       &       \\
                                \cdot & \cdot &       &       &       &       \\
                                      &       & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
                                      &       & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
                                      &       & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
                                      &       & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
\end{array} \right ) \]
\vspace{-13mm}

\[ \Red{{\boldmath 3}_{j=1}\otimes {\boldmath 2}_{j=1/2} = 
{\boldmath 2}_{j=1/2} \oplus {\boldmath 4}_{j=3/2}} \]
\vspace{-23mm}

\[ \Red{{\boldmath 2}_{j=1/2}\otimes {\boldmath 2}_{j=1/2} =
{\boldmath 1}_{j=0} \oplus {\boldmath 3}_{j=1}} \]
\vspace{-23mm}

\[ \Red{({\boldmath 2}\otimes {\boldmath 2})\otimes {\boldmath 2} =
({\boldmath 1} \otimes {\boldmath 2}) \oplus ({\boldmath 3} \otimes {\boldmath 2}) = 
{\boldmath 1}\oplus ({\boldmath 2} \oplus {\boldmath 4})} \]
\vfill
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\bf Beispiele innerer Symmetrien:}

\begin{enumerate}

\item \Red{$U(1)$-Phasentransformationen} der Wellenfunktionen:\hfill\break  
f\"uhren zur Wahr\-schein\-lich\-keits\-er\-hal\-tung und
Erhaltung der elektrischen Ladung (s.u.).

\item \Red{Isospinsymmetrie $SU(2)$} der starken Wechselwirkung, analog zur r\"aumlichen Drehimpulssymmetrie.

Fundamentale Dublettdarstellung:
\vspace{-10mm}

\textRed
\[ \left(\begin{array}{c} p \\ n \\ \end{array} \right)\hspace{3mm}{\mathrm bzw.}
   \left(\begin{array}{c} u \\ d \\ \end{array} \right).\]
\textBlack
\vfill
\clearpage

\item \Red{Schwache Isopsinsymmetrie $SU(2)_W$}, Eichsymmetrie der schwachen Wechselwirkung:

Fundamentale Dublettdarstellung: \Red{Quark- und Lepton-Dubletts.}
\vspace{-10mm}

\textRed
\[ \left(\begin{array}{c} \nu_e \\ e^- \\ \end{array} \right)\hspace{15mm}
   \left(\begin{array}{c} \nu_\mu \\ \mu^- \\ \end{array} \right)\hspace{15mm}
   \left(\begin{array}{c} \nu_\tau \\ \tau^- \\ \end{array} \right) \]
\vspace{-10mm}

\[ \left(\begin{array}{c} u \\ d \\ \end{array} \right)\hspace{15mm}
   \left(\begin{array}{c} c \\ s \\ \end{array} \right)\hspace{15mm}
   \left(\begin{array}{c} t \\ b \\ \end{array} \right). \]
\textBlack
\vspace{-10mm}

Fermionen und Antifermionen befinden sich in der gleichen Darstellung und besitzen daher die
gleichen schwachen Ladungen.

Die Eichbosonen \Red{$(W^+, Z^0, W^- )$} bilden ein Multiplett der 3-dimensionalen adjungierten Darstellung
entsprechend den drei Generatoren \Red{$(I^+, I^0, I^- )$} der $SU(2)$-Gruppe.
Die Isospin-Triplett-Darstellung entspricht der Spin~1-Darstellung der r\"aumlichen $SU(2)$-Gruppe.
\clearpage

\item \Red{$SU(3)$ flavour-Symmetrie der starken Wechselwirkung:\hfill\break  
das Quarkmodell}

Es gibt zwei verschiedene fundamentale Triplett-Darstellungen: $(u,d,s)$ und $(\bar{u},\bar{d},\bar{s})$.

Quarks und Antiquarks sind in verschiedenen (zueinander konjugierten) Multipletts.

Die Multipletts der Mesonen und Baryonen werden durch Produkte der fundamentalen
Darstellungen und Zerlegen in irreduzible Unterr\"aume (Ausreduzieren) gewonnen, z.B.
\vspace{-13mm}

\[ \Red{{\boldmath 3}\otimes {\boldmath \bar{3}} = 1 \oplus {\boldmath 8}} \]
\vspace{-23mm}

\[ \Red{{\boldmath 3}\otimes {\boldmath 3}\otimes {\boldmath 3} = 
{\boldmath 1} \oplus {\boldmath 8} \oplus {\boldmath 8} \oplus {\boldmath 10}} \]
\vspace{-23mm}

\[ \Red{{\boldmath \bar{3}}\otimes {\boldmath \bar{3}}\otimes {\boldmath \bar{3}} = 
{\boldmath 1} \oplus {\boldmath 8} \oplus {\boldmath 8} \oplus {\boldmath 10}} \]
\vspace{-13mm}

Baryonen und Antibaryonen $(qqq)$ befinden sich in unterschiedlichen Multipletts,
w\"ahrend Mesonen und Antimesonen $(q\bar{q})$ in den gleichen Multipletts auftreten.
\end{enumerate}

\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{large}
\Blue{\bf 1.2.4.4 Diskrete Symmetrien}
\end{large}
\vspace{2mm}

Symmetrien der freien Teilchen (Beispiel: Fermionen) und der elektromagnetischen
und starken, nicht der schwachen Wechselwirkung:

\begin{enumerate}

\item \Red{Parit\"at P (Raumspiegelung):}

$\vec{x}\longrightarrow -\vec{x}$, $\vec{p}\longrightarrow -\vec{p}$.

\[ \psi (t,\vec{x})\longrightarrow \psi^P(t,-\vec{x})=\eta_P\gamma^0\psi(t,\vec{x}) \]

erf\"ullt die raumgespiegelte Dirac-Gleichung.

\item \Red{Zeitinversion T:} $t\longrightarrow -t$.

\[ \psi (t,\vec{x})\longrightarrow \psi^T(-t,\vec{x})=i\gamma^1\gamma^3\psi^\ast (t,\vec{x}) \]

erf\"ullt die zeitgespiegelte Dirac-Gleichung.

\item \Red{Ladungskonjugation C:}

Teilchen $\longrightarrow$ Antiteilchen, $Q_f\longrightarrow -Q_f$.

\[ \psi (t,\vec{x})\longrightarrow \psi^C(t,\vec{x})= i\eta_C \gamma^2\psi^\ast (t,\vec{x}) \]

erf\"ullt die konjugierte Dirac-Gleichung.

\end{enumerate}

\clearpage

$\Longrightarrow$ CPT-Symmetrie, 

$\Longrightarrow$ gleiche Lebensdauern und Massen von Teilchen und Antiteilchen.

CPT-Erhaltung gilt allgemein f\"ur jede lokale, lorentzinvariante Feldtheorie
mit ${\cal L}^\dagger = {\cal L}$ und Spin-Statistik-Relation (und damit f\"ur alle 
Wechselwirkungen).

(Schwinger 1951, Pauli 1955, L\"uders 1957).
\vspace{5mm}

\Red{Skalare wie $\overline{\psi}\psi$} sind invariant unter Raumspiegelung.

\Red{Pseudoskalare wie $\overline{\psi}\gamma^5 \psi$} wechseln das Vorzeichen unter Raumspiegelung.

\Red{(4-) Vektoren wie $\overline{\psi}\gamma^\mu\psi$ (Strom)}: Zeitkomponente erhalten,
Richtungsumkehr der Raumkomponente bei Raumspiegelung.

\Red{(4-) Axialvektoren wie $\overline{\psi}\gamma^5\gamma^\mu\psi$}: Raumkomponente erhalten,
Vorzeichenwechsel der Zeitkomponente bei Raumspiegelung.
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
