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% Vorlesung WS 2010/11
% Author: H. Kroha
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\begin{document}

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{\fancyplain{\scriptsize PD Dr.~H.~Kroha: Tests des Standardmodells der Teilchenphysik,
WS 2016/17}%
{\scriptsize PD Dr.~H.~Kroha: Tests des Standardmodells der Teilchenphysik, WS 2016/17}}

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\tabcolsep=1.5mm
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}
\begin{large}
\Blue{\bf 1.5 Vergleich von Theorie und Experiment}
\end{large}
\vspace{5mm}

\begin{large}
\Blue{\bf 1.5.1 St\"orungstheorie und Feynman-Diagramme}
\end{large}
\vspace{5mm}

Zur Berechnung von \"Ubergangsamplituden $\langle f | \psi (t)\rangle$ f\"ur
Zerfallswahrscheinlichkeiten und Wirkungsquerschnitte.
\vspace{3mm}

{\bf Einfachste Methode (nach Feynman):}
\vspace{3mm}

Iterative L\"osung der klassischen Feldgleichungen, mit Wechsel\-wirkungsterm als St\"orung
zu den freien Feldgleichungen, unter Benutzung der Methode der Greenschen Funktion.  
\vspace{5mm}

\begin{normalsize}
\Blue{\bf 1.5.1.1 Bekanntes Beispiel: Elektrostatik}
\end{normalsize}
\vspace{5mm}

Poisson-Gleichung f\"ur skalares elektrostatisches Potential $\phi (\vec{x})$:

\vspace{-10mm}
\textRed
\[ \vec{\nabla}^2 \Phi (\vec{x}) = -\rho (\vec{x}).\]
\textBlack

\vspace{-20mm}
L\"osung f\"ur Punktladung am Ort $\vec{x}^\prime$: 
$\rho (\vec{x}) = q\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}^\prime )$:

\vspace{-10mm}
\textRed
\[ \Phi (\vec{x})= {q\over 4\pi |\vec{x}-\vec{x}^\prime |}\;\;\; ({\mathrm Coulomb-Potential}).\]
\textBlack

\vspace{-15mm}
F\"ur eine allgemeine Ladungsverteilung $\rho (\vec{x}^\prime )$ ist die L\"osung offensichtlich:

\vspace{-10mm}
\textRed
\[ \Phi (\vec{x}) = \int {\rho (\vec{x}^\prime )\over 4\pi |\vec{x}-\vec{x}^\prime |} d^3x^\prime
=: \int G(\vec{x}-\vec{x}^\prime )\rho (\vec{x}^\prime ) d^3x^\prime \]
\textBlack

\vspace{-15mm}
mit der sog.\ Greenschen Funktion

\vspace{-10mm}
\textRed
\[ G(\vec{x},\vec{x}^\prime ) = G(\vec{x}-\vec{x}^\prime )={1\over 4\pi |\vec{x}-\vec{x}^\prime |} \]
\textBlack

\vspace{-15mm}
die eine L\"osung der Poisson-Gleichung ist f\"ur eine Einheitspunktladung am Ort $\vec{x}^\prime$
(Definition):

\vspace{-10mm}
\textRed
\[ \vec{\nabla}_x^2 G(\vec{x},\vec{x}^\prime ) = -\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{x}^\prime ). \]
\textBlack
\vspace{-100mm}
\end{figure}
\clearpage

\begin{normalsize}
\Blue{\bf 1.5.1.2 Anwendung auf Eichfeldtheorien:\hfill\break
\hphantom{1.5.1.2} Elektromagnetische WW von Fermionen (QED)}
\end{normalsize}

\vspace{-15mm}
\textRed
\begin{eqnarray*}
{\cal L}_{\mathrm Fermion}^{QED} &=& \overline{\psi} (i\gamma^\mu D_\mu -m)\psi \\
&=& \overline{\psi} (i\gamma^\mu \partial_\mu  - m)\psi - eQ \overline{\psi} \gamma^\mu \psi A_\mu \\
&=& \overline{\psi} (i\gamma^\mu \partial_\mu  - m)\psi - e j^\mu A_\mu .
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-20mm}

$\Longrightarrow$ Feldgleichung nach dem Lagrange-Formalismus:
\vspace{-10mm}

\textRed
\[ {\partial {\cal L}\over \partial \overline{\psi}} - 
\partial_\mu \Biggl ({\partial {\cal L}\over\partial (\partial_\mu \overline{\psi})}\Biggr )=0 \]
\textBlack
\vspace{-12mm}

ist die Dirac-Gleichung
\vspace{-12mm}

\textRed
\[ (i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi (x) = eQ\gamma^\mu A_\mu (x) \psi (x) \]
\textBlack
\vspace{-15mm}

mit elektromagnetischem Kopplungsterm:

eine inhomogene Differentialgleichung, die i.a.\ nicht analytisch l\"osbar ist, d.h.\
iterative L\"osung mit inhomogenem Wechselwirkungsterm als St\"orung.

Ansatz f\"ur die Greensche Funktion:
\vspace{-10mm}

\textRed
\[ (i\gamma^\mu\partial_\mu -m) K(x-x^\prime ) = \delta^{(4)} (x-x^\prime )\cdot 1. \]
\textBlack
\clearpage

Mit der L\"osung $\psi^{(0)} (x)$ der homogenen freien Dirac-Gleichung,
$(i\gamma^\mu \partial_\mu -m)\psi^{(0)} (x) =0$

ist damit die allgemeine L\"osung der inhomogenen Dgl.:
\vspace{-10mm}

\textRed
\[ \underline{\psi (x)} = 
\psi^{(0)}(x) + eQ\int d^4x^\prime K(x-x^\prime )\gamma^\mu A_\mu (x^\prime )\underline{\psi (x^\prime )}. \]
\textBlack
\vspace{-10mm}

Die Integralgleichung kann iterativ gel\"ost werden:

0. N\"aherung: \Red{$\psi^{(0)} (x)$} $\longrightarrow$ einsetzen in RS.

1. N\"aherung:

\vspace{-10mm}
\textRed
\[\psi^{(1)} (x) = \psi^{(0)} (x) + eQ\int d^4x\prime K(x-x^\prime )
\gamma^\mu A_\mu (x^\prime )\underline{\psi^{(0)}(x^\prime )};\]
\textBlack

\vspace{-25mm}
\hphantom{1.\ }$\longrightarrow$ einsetzn in RS.

2. N\"aherung:

\vspace{-10mm}
\textRed
\[ \psi^{(2)} (x) = \psi^{(0)} (x) + eQ\int d^4x\prime K(x-x^\prime )
\gamma^\mu A_\mu (x^\prime )\psi^{(0)}(x^\prime ) \]

\vspace{-20mm}
\begin{eqnarray*}
+ e^2Q^2\int\int d^4x^{\prime\prime}d^4x^\prime &K(x-x^{\prime\prime})&\gamma^\mu A_\mu (x^{\prime\prime}) \\
&K(x^{\prime\prime}-x^\prime )&\gamma^\mu A_\mu (x^\prime ) \psi^{(0)}(x^\prime ).  
\end{eqnarray*}
\textBlack

\vspace{-12mm}
\Blue{St\"orungsentwicklung nach Potenzen des WW-Terms $\sim e$.}
\vfill
\clearpage

Fouriertransformation der Greenschen Funktion,

\vspace{-6mm}
\textRed
\[ K(x-x^\prime )= {1\over (2\pi )^4}\int d^4p \widehat{K}(p) e^{-ip(x-x^\prime )},\]
\textBlack

\vspace{-15mm}
ergibt bei Einsetzen in die Dirac-Gleichung:

\vspace{-17mm}
\textRed
\begin{eqnarray*}
(i\gamma^\mu\partial_\mu -m)K(x-x^\prime ) &=& {1\over (2\pi )^4}\int d^4p (\not{p} -m)\widehat{K}(p)e^{-ip(x-x^\prime )}\\
\equiv \delta^{(4)}(x-x^\prime )\cdot {\boldmath 1} &=& {1\over (2\pi )^4}\int d^4p e^{-ip(x-x^\prime )}\cdot {\boldmath 1},
\end{eqnarray*}
\textBlack

\vspace{-10mm}
d.h.\ \Red{$(\not{p}-m)\widehat{K}(p) = {\boldmath 1}$,} mit $\not{p}:=\gamma^\mu p_\mu =\gamma^0p_0-\vec{\gamma}\cdot \vec{p}$ etc.

\vspace{-6mm}
\textRed
\[\Longrightarrow (\not{p}+m)(\not{p}-m)\widehat{K}(p) = (p^2-m^2)\widehat{K}(p) \equiv (\not{p}+m)\cdot {\boldmath 1}\]
\textBlack
\vspace{-10mm}

\Blue{$\Longrightarrow$ ``Fermion-Propagator''}

\vspace{-5mm}
\textRed
\begin{center}
\framebox[10.0cm]{$\widehat{K}(p)=\lim_{\varepsilon\to +0}{\textstyle \not{p}+m\over {\textstyle p^2 -m^2+i\varepsilon}}$}
\end{center}
\textBlack

mit Integrationsregel f\"ur das Fourierintegral der r\"aumlichen Greenschen Funktion in der komplexen
Ebene:

Konvergente L\"osungen f\"ur Wellen mit \Red{positiver Energie (Teilchen),} die sich in 
\Red{positiver Zeitrichtung ($t>t^\prime$)} 
ausbreiten und f\"ur Wellen mit \Blue{negativer Energie (Antiteilchen),} die sich in 
\Blue{negativer Zeitrichtung ausbreiten ($t<t^\prime$).} \Red{$\longrightarrow$ Feynman-Bild.}
\vfill
\clearpage

\begin{normalsize}
\Blue{\bf 1.5.1.3 Berechnung der \"Ubergangsmatrixelemente}
\end{normalsize}

mit der \Red{Streumatrix $S$,}

\vspace{-10mm}
\textRed
\[\psi_s (x) = S\cdot \psi_i (x), \]
\textBlack

\vspace{-5mm}
ist das Streumatrixelement

\vspace{-18mm}
\textRed
\begin{eqnarray*}
\langle \psi_f |\psi_s\rangle &=& \langle \psi_f |S|\psi_i\rangle =: S_{fi} 
\Blue{\equiv {\cal M}_{fi} (2\pi )^4 \delta^{(4)}(p_f-p_i)} \\
&=& \int d^3 x \psi_f^\dagger (x) S\psi_i (x) = \int d^3 x \psi_f^\dagger (x) \psi_s (x) \\
&=& S_{fi}^{(0)} + S_{fi}^{(1)} + S_{fi}^{(2)} + ...
\end{eqnarray*}
\textBlack

\vspace{-5mm}
wobei f\"ur die gestreute Welle $\psi_s (x)$ die obige St\"orungsentwicklung durchgef\"uhrt wird (einsetzen!).

Im Anfangs ($i$)- und Endzustand ($f$) befinden sich wechselwirkungsfreie Zust\"ande (ebene Wellen).
\vfill
\clearpage

\begin{large}
\Blue{\bf 1.5.1.4 Wirkungsquerschnitte und Zerfalls-}\hfill\break
\Blue{\bf \hphantom{1.5.1.4} wahrscheinlichkeiten}
\end{large}

\"Ubergangswahrscheinlichkeit pro Raum- und Zeiteinheit\hfill\break
(``Goldene Regel''):

\textRed
\[ dw = |S_{fi}|^2 \rho (E_f) dE_f/ (V_0\cdot T).\]
\textBlack

Dabei ist bei Begrenzung der WW auf $V_0$, $T$:

\textRed
\[ |S_{fi}|^2 = |M_{fi}|^2\cdot V_0\cdot T \cdot (2\pi )^4 \delta^{(4)}(p_f-p_i)\]
\textBlack

und $\rho (E_f)$ die Zustandsdichte im Endzustand.

Differentieller Wirkungsquerschnitt f\"ur die \Blue{2-K\"orper-Reaktion $a+b\to c+d$}
(mit $p_1 + p_2 = p_3 + p_4$, $s:= (p_1+ p_2)^2 = E_{CMS}^2$):

\vspace{-10mm}
\textRed
\[ d\sigma = dw/j_{\mathrm ein} \]
\textBlack

\vspace{-10mm}
mit der einlaufenden Teilchenstromdichte (Lorentz-invariant):

\vspace{-8mm}
\textRed
\begin{eqnarray*}
j_{\mathrm ein} &=& |\vec{v}_{ab}|{2E_1\over V} {2E_2\over V} = {4\over V^2}[(p_1\cdot p_2)^2 - m_1^2 m_2^2]^{1\over 2}\\
&=& {4\over V^2} E_{CMS} |\vec{p}_a^{CMS}| .
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vfill
\clearpage

\textRed
\begin{center}
$\Longrightarrow$ \fbox{$d\sigma = {|{\cal M}_{fi}|^2\over j_{\mathrm ein}} d{\mathrm Lips}$}
\end{center}
\textBlack

mit dem Lorentz-invarianten Phasenraumelement (Zustandsdichte im Endzustand):

\textRed
\[ d{\mathrm Lips} = (2\pi )^4 \delta^{(4)}(p_3+p_4-p_1-p_2) 
{V\over 2E_3}{d^3p_3\over (2\pi )^3}
{V\over 2E_4}{d^3p_4\over (2\pi )^3}. \]
\textBlack

Zerfallsbreite f\"ur $n$-K\"orperzerfall $a\to 1,...,n$:

\textRed
\begin{center}
\fbox{$d\Gamma = {|{\cal M}|^2\over 2E_a} d{\mathrm Lips}$}
\end{center}
\textBlack

mit

\textRed
\[ d{\mathrm Lips} = (2\pi )^4 \delta^{(4)}(p_f-p_i)
\prod_{j=1}^n {V\over 2E_j}{d^3p_j\over (2\pi )^3}.\]
\textBlack

$\Gamma = \int d\Gamma = {1\over \tau}$.

Das Normierungsvolumen $V$ k\"urzt sich!
\vfill
\clearpage
\end{document}
