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% Vorlesung WS 2018/19
% Author: H. Kroha
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\begin{document}

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{\fancyplain{\scriptsize Prof.~Dr.~H.~Kroha: Tests des Standardmodells der Teilchenphysik,
WS 2018/19}%
{\scriptsize Prof.~Dr.~H.~Kroha: Tests des Standardmodells der Teilchenphysik, WS 2018/19}}

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\tabcolsep=1.5mm
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{large}
\Blue{\bf 1.4 Ursprung der Massen der Elementarteilchen}
\end{large}

\begin{itemize}

\item Nur ein masseloses Spin-1 Teilchen  beobachtet: Photon $\longrightarrow$ $U(1)_Q$-Eichsymmetrie.

\item Die schwache Wechselwirkung ist kurzreichweitig.\hfill\break
$\Longrightarrow$ schwere Feldquanten.

\item Explizite Massenterme f\"ur Eichbosonen (Proca-Gleichung) verletzen die lokale Eichsymmetrie der
Lagrange-Funktion, explizite Massenterme f\"ur die Fermionen (Dirac-Gleichung) brechen die globale
$SU(2)_L$-Eichsymmetrie.

\item Die Eichsymmetrie ist aber verantwortlich und notwendig f\"ur die Aufhebung von Divergenzen 
in jeder Ordnung der St\"orungstheorie,
d.h. die Renormierbarkeit der elektroschwachen Theorie (wie in der QED).

\end{itemize}


{\bf Ausweg}:

Sog.\ \Red{spontane Brechung der Symmetrie des Grundzustands (des Vakuums der Feldtheorie),}

w\"ahrend die volle Eichsymmetrie der Lagrange-Funktion und der Feldgleichungen erhalten bleibt:

\textRed
\[ SU(2)_L \otimes U(1)_Y \stackrel{SSB}{\longrightarrow} U(1)_Q\]

\textBlack
(``verborgene Eichsymmetrie'').
\vfill
\clearpage

{\bf Motivation}:

\begin{minipage}[c]{0.7\linewidth}
\begin{flushleft}%
Konstruktion in Analogie zu Phasen\"uberg\"angen
2. Ordnung in der Festk\"orperphysik:
SSB unterhalb der kritischen Temperatur.
\end{flushleft}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.3\linewidth}
	\includegraphics[width=\hsize]{Bilder/Phasenuebergang.eps}
\end{minipage}

\Red{Ordnungsparameter} (z.B. Magnetisierung) nimmt spontan und diskontinuierlich
einen von Null verschiedenen Wert im Grundzustand an.

In der Teilchenphysik: Volle Symmetrie des Vakuums wiederhergestellt bei hohen Energien,

d.h.\ Phasen\"uberg\"ange mit spontaner Symmetriebrechung bei Abk\"uhlung des expandierenden fr\"uhen Universums.

In der Theorie der Phasen\"uberg\"ange \Red{(Ginzburg-Landau-Theorie)} entspricht der Ordnungsparameter einem
selbstwechselwirkenden skalaren Feld, das im Grundzustand einen von Null verschiedenen Erwartungswert
annimmt.

{\bf Goldstone-Theorem}:

\textRed
F\"ur jeden Generator einer globalen kontinuierlichen Symmetrie der Bewegungsgleichungen,
die im Grundzustand gebrochen ist, tritt ein masseloses skalares Teilchen (Goldstone-Boson) auf.
\textBlack
\vfill
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{sidewaysfigure}
%\mbox{\epsfig{figure=/home/iwsatlas1/kroha/tex/vorlesung/universe_new.eps,width=1.10\textwidth}}
%\end{sidewaysfigure}
\begin{figure}
\mbox{\includegraphics[width=0.96\textwidth]{Bilder/universe.eps}}
\vspace{-200mm}

\end{figure}
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\Red{Goldstone-Bosonen} sind (wegen der Eichsymmetrie) energielose Anregungen,
die die durch die gebrochenen
Symmetrie-Generatoren erreichbaren (ineinander transformierbaren) Grundzust\"ande verbinden 
(Quasiteilchenanregungen in der Festk\"orperphysik, z.B.\ Phononen).

Als Elementarteilchen wurden sie nicht beobachtet.

Bei lokaler Eichsymmetrie transformieren  die Goldstone-Bosonen mittels
Eichtransformationen zu den gebrochenen Generatoren als longitundinale Polarisationsfreiheitsgrade 
der Eichbosonen, die dadurch eine Masse erhalten (Higgs-Mechanismus).

{\bf Analogie zum Supraleiter im Magnetfeld:}

Durch lokal eichinvariante, elektromagnetische Wechselwirkung mit den Cooper-Paarkondensat
im koh\"arenten supraleitenden Grundzustand (Ordnungsparameterfeld) wird das Photonfeld
aus dem Supraleiter abgeschirmt und erh\"alt eine effektive Masse (endliche Reichweite, Eindringtiefe).

Die lokale $U(1)$-Phasensymmetrie (Teilchenzahlerhaltung)
wird im koh\"arenten Grundzustand gebrochen.
\vfill
\clearpage


\begin{large}
\Blue{\bf 1.4.1 Der Higgs-Mechanismus im Standardmodell}
\end{large}
\vspace{5mm}

Zus\"atzliches komplexes, skalares Feld, $SU(2)_L$-Dublett,
\vspace{-8mm}

\textRed
\[ \begin{array}{lccc}
 & Q & I^0 & Y=2(Q-I^0) \\
\Phi= {\left( \begin{array}{c} \Phi^+ \\ \Phi^0 \end{array} \right)} &
\begin{array}{c} +1 \\ \hphantom{+}0 \end{array} &
\begin{array}{c} +{1\over 2} \\ -{1\over 2} \end{array} &
\begin{array}{c} +1 \\ +1 \\ \end{array} \\
\end{array}
\]
\textBlack

mit schwacher und elektromagnetischer Wechselwirkung
(4 Freiheitsgrade).

Erf\"ullt die Klein-Gordon-Gleichung mit $SU(2)_L\times U(1)_Y$-eichinvarianter Lagrange-Dichte:

\textRed
\[ {\cal L}_{\mathrm Skalar} = (D_\mu \Phi)^\dagger (D^\mu \Phi ) - V(\Phi^\dagger \Phi) = T-V\]
\textBlack
\vspace{-15mm}

mit

\vspace{-8mm}
\textRed
\[ D_\mu = \partial_\mu \cdot {\boldmath 1} + i{g^\prime\over 2} Y B_\mu \cdot {\boldmath 1}
+ i{g\over 2} \vec{\tau}\cdot \vec{W}_\mu \]
\textBlack
\vspace{-8mm}

und dem Selbstwechselwirkungspotential ($\lambda >0$):
\vspace{-15mm}

\textRed
\[ V(\Phi^\dagger \Phi ) = \mu^2 (\Phi^\dagger\Phi ) + \lambda (\Phi^\dagger \Phi )^2. \]
\textBlack
\vfill
\clearpage


\Red{$|\Phi |$ ist der Ordnungsparameter} in Analogie zur Ginzburg-Landau-Theorie
(freie Energie ersetzt Lagrangedichte).

F\"ur \Red{$\mu^2 <0$} ist der Grundzustand (kin.\ Energie $T=0$, $V=V_{\mathrm min.}$)
bei einem von Null verschiedenen Betrag des Skalarfelds (Vakuumerwartungswert
$|\Phi_0 |=v/\sqrt{2}$):

\textRed
\[ {\partial V\over \partial |\Phi |} = 2\mu^2 |\Phi_0 | + 4\lambda |\Phi_0 |^3 = 0. \]

\[ \Longrightarrow |\Phi_0 | = \sqrt{-\mu^2\over 2\lambda}=: {v\over \sqrt{2}}. \]
\textBlack

Die Mannigfaltigkeit (Unterraum) im $\Phi$-Raum, auf der $V(\Phi^\dagger\Phi )$ minimal wird,
ist $SU(2)_L\times U(1)_Y$-invariant.

\Red{Durch Auswahl eines der m\"oglichen Grundzust\"ande,}

\textRed
\[ \Phi_0 = \left(\begin{array}{c} 0 \\ v/\sqrt{2} \\ \end{array} \right), \]
\textBlack

\Red{wird die $SU(2)_L\times U(1)_Y$-Symmetrie spontan gebrochen.}
\vfill
\clearpage

Eine $U(1)_Q$-Phasensymmetrie des Vakuums, entsprechend
der Erhaltung der elektrische Ladung bleibt, wie beobachtet, ungebrochen zur\"uck:

\textRed
\[ SU(2)_L \otimes U(1)_Y \stackrel{SSB}{\longrightarrow} U(1)_Q.\]
\textBlack

Generatoren T, die den Grundzustand $\Phi_0$ invariant lassen:

\textRed
\[ e^{iT\alpha}\Phi_0 = \Phi_0 \Longrightarrow T\Phi_0 = 0. \]
\textBlack
\vfill
\clearpage

F\"ur die gebrochenen $SU(2)_L\times U(1)_Y$-Generatoren gilt:

\textRed
\begin{eqnarray*}
 \tau_1 \Phi_0 &=&
 \left(\begin{array}{rr} 0 & \hphantom{-}1 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right)
 \left(\begin{array}{c}  0 \\ {v\over\sqrt{2}} \\ \end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}  \hphantom{-i}{v\over\sqrt{2}} \\ 0 \\ \end{array}\right) \neq 0; \\
 \tau_2 \Phi_0 &=&
 \left(\begin{array}{rr} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{array}\right)
 \left(\begin{array}{c}  0 \\ {v\over\sqrt{2}} \\ \end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}  -i{v\over\sqrt{2}} \\ 0 \\ \end{array}\right) \neq 0; \\
 \tau_3 \Phi_0 &=&
 \left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array}\right)
 \left(\begin{array}{c}  0 \\ {v\over\sqrt{2}} \\ \end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}  -\hphantom{i}{v\over\sqrt{2}} \\ 0 \\ \end{array}\right) \neq 0; \\
 Y \Phi_0 &=&
 \left(\begin{array}{rr} 1 & \hphantom{-}0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right)
 \left(\begin{array}{c}  0 \\ {v\over\sqrt{2}} \\ \end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}  0 \\ \hphantom{-i}{v\over\sqrt{2}} \\ \end{array}\right) \neq 0; \\
 {(\tau_3-Y)\over 2}\Phi_0 &=&
 \left(\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array}\right)
 \left(\begin{array}{c}  0 \\ {v\over\sqrt{2}} \\ \end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c}  0 \\ -\hphantom{i}{v\over\sqrt{2}} \\ \end{array}\right) \neq 0; \\
\end{eqnarray*}
\textBlack

w\"ahrend die elektrische Ladung erhalten bleibt:

\textRed
\[ Q\Phi_0 = {1\over 2} (\tau_3 + Y)\Phi_0 = 0. \]
\textBlack

(orthogonal zum Generator  $(\tau_3-Y)/2$, der dem $Z_\mu^0$-Eichfeld entspricht).
\vfill
\clearpage

Eine Parametrisierung von Feldanregungen aus dem Grundzustand $\Phi_0$ (Quasiteilchenanregungen):

\textRed
\[ \Phi (x) = e^{\textstyle i{\vec{\tau}\vec{\zeta}(x)\over 2v}}
\left(\begin{array}{c} 0 \\ (v+H(x))/\sqrt{2} \\ \end{array}\right) \]
\textBlack

mit der \Red{reellen radialen Anregung $H(x)$} (\Red{skalares Higgs-Boson:} massiv, gegen die R\"uckstellkraft des
Potentials $V$) 
und den \Red{reellen Winkelanregungen $\zeta_i (x)$ ($i=1,...,3$),} die die
verschiedenen Grundzust\"ande verbinden.

Die \Red{masselosen Goldstone-Moden $\zeta_i$} werden
von den Eichbosonen ``absorbiert'', die den \Red{gebrochenen Generatoren} entsprechen.

Dies geschieht durch die lokale $SU(2)_L$-Eichtransformation:

\vspace{-15mm}
\textRed
\begin{eqnarray*}
\Phi (x) &\longrightarrow & \Phi^\prime (x) = e^{\textstyle -i{\vec{\tau}\vec{\zeta}(x)\over 2v}} \Phi (x), \\
L_f (x) &\longrightarrow & L^\prime_f (x), \\
R_f (x) &\longrightarrow & R_f (x), \\
\vec{W}_\mu (x) &\longrightarrow & \vec{W}^\prime_\mu (x), \\
B_\mu (x) &\longrightarrow & B_\mu (x) \\
\end{eqnarray*}
\textBlack

\vspace{-20mm}
(sog.\ ``unit\"are Eichung'').
\vfill
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}
\mbox{\epsfig{figure=Bilder/higgs_potential.eps,width=1.10\textwidth}}

\vspace{-200mm}
\end{figure}
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\vspace{-5mm}
Mit $Y_\Phi = +1$ gilt danach:

\vspace{-15mm}
\textRed
\begin{eqnarray*}
(D_\mu \Phi )^\prime &=& (\partial_\mu {\boldmath 1}
+ ig{\vec{\tau}\over 2}\cdot\vec{W}_\mu^\prime + i{g^\prime\over 2} B_\mu {\boldmath 1}) {1\over \sqrt{2}}(v+H)
\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1\\ \end{array} \right) \\
&=& {1\over\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c} 0 \\ \partial_\mu H \\ \end{array} \right)
+ {ig\over 2\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c} (W^{1\prime}_\mu - i W^{2\prime}_\mu ) (v+H) \\ 0 \\ \end{array} \right) \\
&+& {i\over 2\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c} 0 \\ (g^\prime B_\mu - g W^{3\prime}_\mu ) (v+H) \\ \end{array} \right).
\end{eqnarray*}
\textBlack

\vspace{-5mm}
Einsetzen von $\Phi^\prime (x)$ und $(D_\mu\Phi )^\prime$ in ${\cal L}_{\mathrm Skalar}=T-V$ ergibt:

\vspace{-15mm}
\textRed
\begin{eqnarray*}
T&=& (D^\mu \Phi )^{\prime\dagger} (D_\mu \Phi )^\prime \\
&=& {1\over 2} \partial^\mu H \partial_\mu H + {g^2 (v+H)^2\over 8}|W_\mu^{1\prime} -iW_\mu ^{2\prime}|^2 \\
&+& {(v+H)^2\over 8} |g^\prime B_\mu - g W_\mu^{3\prime}|^2 \\
&=& {1\over 2} \partial^\mu H \partial_\mu H + {g^2v^2\over 8}(W_\mu^+ W^{\mu +} + W_\mu^- W^{\mu -}) \\
&+& {g^2v^2\over 8\cos^2\theta_W}Z_\mu^0Z^{0\mu} \\
&+& {g^2\over 4} (H^2 + 2vH) \Biggl [W_\mu^+ W^{\mu -} + {1\over 2\cos^2\theta_W} Z^0_\mu Z^{0\mu} \Biggr ]. \\
V &=& \mu^2 \Phi^\dagger\Phi + \lambda (\Phi^\dagger \Phi )^2 \\
&=& {\mu^2\over 2} (v+H)^2 + {\lambda\over 4} (v+H)^4 
= -\mu^2 H^2 +\lambda v H^3 + {\lambda\over 4} H^4.
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-8mm}

\vfill
\clearpage


\vspace{-8mm}
\textRed
\begin{eqnarray*}
{\mathrm mit}\;\; (W_\mu^{1\prime} &+& i W_\mu^{2\prime}) (W^{1\prime\mu} - i W^{2\prime\mu}) \equiv 2 W_\mu^+ W^{-\mu} \\
&=& W_\mu^+ W^{\mu +} + W_\mu^- W^{\mu -}
\end{eqnarray*}
\textBlack

\vspace{-5mm}
und Rotation mit \Red{Weinberg-Winkel $\theta_W$} wie beim neutralen Strom (Diagonalisierung
der Massenmatrix der neutralen Eichbosonen):

\vspace{-10mm}
\textRed
\[ -Z_\mu^0 = {g^\prime B_\mu - g W_\mu^{3\prime}\over\sqrt{g^2 + g^{\prime 2}}}=
{g\over\cos\theta_W}(g^\prime B_\mu - g W_\mu^{3\prime} ). \]


\vspace{-15mm}
\begin{eqnarray*}
&\Longrightarrow & {\cal L}_{\mathrm Skalar}=
{1\over 2} \biggl (\partial^\mu H \partial_\mu H - M_H^2 H^2\biggr ) - \lambda v H^3 - {\lambda\over 4}H^4 \\
&+& {g^2\over 4} (H^2 + 2vH) \Biggl [W_\mu^+ W^{-\mu} + {1\over 2\cos^2\theta_W} Z^0_\mu Z^{0\mu}\Biggr ]\\
&+& {1\over 2} M_W^2 (W_\mu^+ W^{\mu +} + W_\mu^- W^{\mu -})
+ {1\over 2} M_Z^2 Z_\mu^0Z^{0\mu}.
\end{eqnarray*}
\textBlack

\vspace{-8mm}
mit

\vspace{-25mm}
\textBlue
\begin{eqnarray*}
{\mathrm Eichbosonen:}\; M_W &=& {gv\over 2};\;\; M_Z = {gv\over 2\cos\theta_W} = {M_W\over \cos\theta_W}; \\
{\mathrm Higgsboson:}\hphantom{s}\; M_H &=& \sqrt{-2\mu^2} = \sqrt{2\lambda}v.
\end{eqnarray*}

\vspace{-20mm}
\[ {\mathrm und}\;\; \sin^2\theta_W = 1-\cos^2\theta_W = 1- {M_W^2\over M_Z^2}.\]
\textBlack

\vspace{-10mm}
Alle Wechselwirklungsterme werden genau so ben\"otigt, damit die elektroschwache Theorie
\Red{st\"orungstheoretisch berechenbar (``renormierbar'')} ist (durch Eichsymmetrie!).
\vfill
\clearpage


\begin{large}
\Blue{\bf 1.4.2 Massen der Fermionen}
\end{large}
\vspace{5mm}

Eichinvariante Kopplung der links- und rechtsh\"andigen Fermionen an das Skalarfeld $\Phi (x)$:
                                                                                                                           
\vspace{-18mm}
\textRed
\begin{eqnarray*}
{\cal L}_{WW}^{\mathrm Yukawa} =
&-& \sum_{f ({\mathrm up})} \hphantom{g_f}g_f \Biggl [\biggl (\overline{L}_f\overline{\Phi}^\ast\biggr )\psi_{f R}
+ \overline{\psi}_{f R} \biggl (\overline{\Phi}^T L_f\biggr )\Biggr ] \\
&-& \sum_{f ({\mathrm down})} g_f \Biggl [\biggl (\overline{L}_f \Phi\biggr )\psi_{f R}
+ \overline{\psi}_{f R} \biggl (\Phi^\dagger L_f\biggr )\Biggr ]
\end{eqnarray*}
\textBlack

(Yukawa-Kopplung vom Typ $-g(\overline{\psi}\psi )\phi$ zuerst f\"ur Nukleon-Pion-Kernwechselwirkung
eingef\"uhrt.)

mit dem $SU(2)_L$-Dublett ($Y_{\overline{\Phi}} = 2(Q-I^0) = -1 = - Y_\Phi$):

\textRed
\[ \overline{\Phi}:= i\tau_2 \Phi^\ast = 
\left(\begin{array}{c} \hphantom{-}\overline{\Phi}^0 \\ -\Phi^- \\ \end{array} \right)
\stackrel{SSB}{\longrightarrow}
\left(\begin{array}{c} (v+H)/\sqrt{2} \\ 0 \\ \end{array} \right). \]
\textBlack
\vfill
\clearpage

Wegen der speziellen Eigenschaft der $SU(2)$-Gruppe, da\ss\ $\tau_2\vec{\tau}^\ast = -\vec{\tau}\tau_2$,
gilt unter $SU(2)_L\times U(1)_Y$-Eichtransformationen:
                                                                                                                           
\vspace{-18mm}
\textRed
\begin{eqnarray*}
\overline{\Phi}&=&i\tau_2\Phi^\ast \longrightarrow (i\tau_2\Phi^\ast )^\prime = i\tau_2 (U\Phi )^\ast \\
&=& i\tau_2 e^{-i{\vec{\tau}^\ast\over 2}\cdot\vec{\beta}}e^{-i{Y_\Phi\over 2}\alpha}\Phi^\ast  \\
&=& e^{i{\vec{\tau}\over 2}\cdot\vec{\beta}}e^{i{Y_{\overline{\Phi}}\over 2}\alpha}(i\tau_2\Phi^\ast ) = U\overline{\Phi}.
\end{eqnarray*}
\textBlack

\vspace{-18mm}
$\Longrightarrow$ \underline{$SU(2)_L$-Invarianz von ${\cal L}_{WW}^{\mathrm Yukawa}$:}

\vspace{-10mm}
\textRed
\begin{eqnarray*}
(\overline{L}\Phi )\psi_R &\longrightarrow & (\overline{L}U^\dagger U\Phi )\psi_R = (\overline{L}\Phi )\psi_R, \\
\overline{\psi}_R(\Phi^\dagger L) &\longrightarrow & \overline{\psi}_R (\Phi^\dagger U^\dagger U L) = 
\overline{\psi_R}(\Phi^\dagger L). 
\end{eqnarray*}
\textBlack

\vspace{-18mm}
(und ebenso f\"ur die `up'-Terme mit $\overline{\Phi}$),

wobei

$L\longrightarrow UL$, $\overline{L}\longrightarrow\overline{L} U^\dagger$, $\psi_R\longrightarrow\psi_R$,
$\Phi\longrightarrow U\Phi$ und

$\overline{\Phi}\longrightarrow U\overline{\Phi}$.

\underline{$U(1)_Y$-Invarianz von ${\cal L}_{WW}^{\mathrm Yukawa}$:}

durch Aufhebung der Phasenfaktoren der L-und R-Fermionen und des Skalarfelds wegen

\vspace{-10mm}
\textRed
\begin{eqnarray*}
Y_{\overline{L}} &+& Y_{\overline{\Phi}} + Y_R = +1 - 1 + 0 = 0\hspace{7mm}{\mathrm (up-Leptonen)}\\
Y_{\overline{L}} &+& Y_{\Phi} + Y_R = +1 + 1 -2 = 0\hspace{7mm}{\mathrm (down-Leptonen)}.
\end{eqnarray*}
\textBlack

\vfill
\clearpage

Einsetzen von $\Phi^\prime (x)$ ergibt:

\vspace{-15mm}
\textRed
\begin{eqnarray*}
{\cal L}_{WW}^{\mathrm Yukawa} 
&=& -\sum_f g_f {v+H\over \sqrt{2}}\biggl (\overline{\psi}_{f L}\psi_{f R}+\overline{\psi}_{f R}\psi_{f L}\biggr ) \\
&\equiv& -\sum_f {g_f v\over\sqrt{2}}\overline{\psi}_f\psi_f - \sum_f {g_f\over\sqrt{2}}(\overline{\psi}_f\psi_f )H.
\end{eqnarray*}
\textBlack

Damit \Red{Dirac-Massenterm} mit

\textRed
\[ m_f = {g_f v\over\sqrt{2}} \]
\textBlack

und Yukawa-Kopplung der Fermionen an das Higgsfeld H

\textRed
\[ {g_f\over\sqrt{2}} = {m_f\over v} \sim m_f. \]
\textBlack

Damit $H\to f\bar{f}$ bevorzugt in schwerste Fermionen mit $2m_f \le M_H$.


{\bf Beachte}: f\"ur Quarks gilt:

\Red{Massen- (und flavour-) Eigenzust\"ande $\neq$ schwache Eigenzust\"ande von $SU(2)_L$.}

%\vspace{30mm}
%\BackgroundEPS{Bilder/Seite_173.eps}{0}{0}{1}
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\BackgroundEPS{Bilder/page130.eps}{0}{0}{1}
\begin{large}
\Blue{\bf 1.4.3 Schwache Wechselwirkung und\hfill\break
\hphantom{1.4.3} Massen der Quarks}
\end{large}
\vspace{4mm}

Experimentelle Beobachtung (schwache Zerf\"alle von K-, D-, B-Mesonen mit $s$-, $c$-, $b$-Quarks):

\textRed
Die Masseneigenzust\"ande der Quarks (Massenoperator diagonal; feste Massen) sind \underline{verschieden} von
den schwachen Eigenzust\"anden der Quarks, den linksh\"andigen $SU(2)$-Dubletts und den rechtsh\"andigen
$SU(2)$-Singuletts (schwache Ladungsoperatoren, $SU(2)$-Generatoren diagonal; feste\hfill\break 
schwache Ladungen).
\textBlack

Deshalb ist der Quark-Massenterm in der elektroschwachen Lagrange-Funktion nach der
spontanen Symmetriebrechung statt

\vspace{-25mm}
\textRed
\begin{eqnarray*}
{\cal L}_{\mathrm Masse}
&=&  -\sum_q {g_q v\over\sqrt{2}}( \overline{\psi}_{qL}\psi_{qR} + \overline{\psi}_{qR}\psi_{qL}) \\
&\equiv&  -\sum_q {g_q v\over\sqrt{2}}\overline{\psi}_q\psi_q
=  -\sum_q m_q \overline{\psi}_q\psi_q 
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-18mm}

(vereinfacht durch Annahme einer diagonalen Massenmatrix)
allgemeiner von der Form
\vspace{-20mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
{\cal L}_{\mathrm Masse} &=& - \Blue{{v\over\sqrt{2}}}\sum_{i,j} \bigl [
\Blue{\overline{\Gamma}_{ij}} \overline{u}_{iL}u_{jR} +
\Blue{\overline{\Gamma}_{ji}^\ast} \overline{u}_{jR} u_{iL} \\
&\hphantom{=}& \hphantom{{v\over\sqrt{2}}\sum_{i,j}}
+ \Blue{\Gamma_{ij}} \overline{d}_{iL}d_{jR} +
\Blue{\Gamma_{ji}^\ast} \overline{d}_{jR} d_{iL}\bigl ] \\
&=& - \sum_{i,j} \bigl [
\Blue{M^{(u)}_{ij}} \overline{u}_{iL}u_{jR} +
\Blue{M^{(u)\ast}_{ji}} \overline{u}_{jR} u_{iL} \\
&\hphantom{=}& \hphantom{{v\over\sqrt{2}}}
+ \Blue{M^{(d)}_{ij}} \overline{d}_{iL}d_{jR} +
\Blue{M^{(d)\ast}_{ji}} \overline{d}_{jR} d_{iL}\bigl ] 
\end{eqnarray*}
\textBlack

\vspace{-200mm}
\clearpage

mit den allgemeinen komplexen Massenmatrizen
\vspace{-5mm}

\textRed
\[ M^{(d)}_{ij} = \Gamma_{ij} {v\over\sqrt{2}}\;\; {\mathrm und}\;\; M^{(u)}_{ij} = \overline{\Gamma}_{ij} {v\over\sqrt{2}} \]
\textBlack
\vspace{-5mm}

Oder mit der Definition
f\"ur die up (u)- und down (d)-artigen Quark-Eigenzust\"ande des schwachen Isospins 
\vspace{-5mm}

\textRed
\[ D=\left(\begin{array}{c} D_1 \\ D_2 \\ D_3 \\ \end{array} \right)=
\left(\begin{array}{c} d \\ s \\ b \\ \end{array} \right)\;\; {\mathrm und}\;\;
   U=\left(\begin{array}{c} U_1 \\ U_2 \\ U_3 \\ \end{array} \right)=
\left(\begin{array}{c} u \\ c \\ t \\ \end{array} \right) \]
\textBlack
\vspace{-5mm}

in Matrixschreibweise:
\vspace{-5mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
{\cal L}_{\mathrm Masse}^{\mathrm Quarks} =
&-& \overline{D}_L M^{(d)} D_R - \overline{D}_R M^{(d)\dagger} D_L \\
&-& \overline{U}_L M^{(u)} U_R - \overline{U}_R M^{(u)\dagger} U_L.
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-5mm}

(Es gilt ${\cal L}^\dagger = {\cal L}$ wie verlangt fuer eine Observable.)
\vfill
\clearpage
%\BackgroundEPS{Bilder/page132.eps}{0}{0}{1}

Die separaten Massenmatrizen f\"ur up- und down-artige Quarks lassen sich diagonalisieren
durch  separate unit\"are Transformationen jeweils f\"ur die links- und
die rechtsh\"andigen Quark-Zust\"ande:
\vspace{-15mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
U_d^\dagger M^{(d)}\hphantom{{}^\dagger}
V_d &=& M^{(d)}_{\mathrm diag.};\;\;\; U_u^\dagger M^{(u)} V_u = M^{(u)}_{\mathrm diag.}; \\
V_d^\dagger M^{(d)\dagger} U_d &=& (U_d^\dagger M^{(d)} V_d)^\dagger = M^{(d)\ast}_{\mathrm diag.}; \\
V_u^\dagger M^{(u)\dagger} U_u &=& (U_u^\dagger M^{(u)} V_u)^\dagger = M^{(u)\ast}_{\mathrm diag.};
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-15mm}

mit

\vspace{-15mm}
\textRed
\begin{eqnarray*}
D_L^\prime &=& U_d^\dagger D_L;\;\;\; U_L^\prime = U_u^\dagger U_L; \\
D_R^\prime &=& V_d^\dagger D_R;\;\;\; U_R^\prime = V_u^\dagger U_R. 
\end{eqnarray*}
\vspace{-15mm}

\begin{eqnarray*}
&\Rightarrow& {\cal L}_{\mathrm Masse}^{\mathrm Quarks} = \\
&-& \overline{D}_L \Black{\overbrace{U_dU_d^\dagger}^{={\boldmath 1}}} M^{(d)} 
\Black{\overbrace{V_dV_d^\dagger}^{={\boldmath 1}}} D_R
 -  \overline{D}_R \Black{\overbrace{V_dV_d^\dagger}^{={\boldmath 1}}} M^{(d)\dagger} 
\Black{\overbrace{U_dU_d^\dagger}^{={\boldmath 1}}} D_L \\
&-& \overline{U}_L U_u \Black{\underbrace{U_u^\dagger M^{(u)} V_u}}V_u^\dagger U_R
 -  \overline{U}_R V_u \Black{\underbrace{V_u^\dagger M^{(u)\dagger} U_u}}U_u^\dagger U_L \\
&=& - \overline{D}_L^\prime M^{(d)}_{\mathrm diag.} D_R^\prime
  - \overline{D}_R^\prime M^{(d)\ast}_{\mathrm diag.} D_L^\prime \\
&\hphantom{=}&  - \overline{U}_L^\prime M^{(u)}_{\mathrm diag.} U_R^\prime
  - \overline{U}_R^\prime M^{(u)\ast}_{\mathrm diag.} U_L^\prime \\
&=&  - \overline{D}^\prime M^{(d)}_{\mathrm diag.} D^\prime
     - \overline{U}^\prime M^{(u)}_{\mathrm diag.} U^\prime . 
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-15mm}

Die letzte Zeile gilt nach einer $U(1)$-Phasentransformation der Quarkfelder, so da\ss\ die
Masseneigenwerte reell werden.

\clearpage
%\BackgroundEPS{Bilder/page133.eps}{0}{0}{1}

Die Lagrange-Funktion f\"ur die schwache geladene Stromwechselwirkung der Quarks
l\"a\ss t sich folgenderma\ss en durch die Masseneigenzust\"ande ausdr\"ucken:

\textRed
\begin{eqnarray*}
&\hphantom{=}& {\cal L}_{CC}^{\mathrm Quarks} =   \\
&=& -{g\over\sqrt{2}} [j^{\mu +}_{CC} W_\mu^- + j^{\mu -}_{CC} W_\mu^+ ] \\
&=& -{g\over\sqrt{2}} \sum_{i=1}^3 \Bigl [ (\overline{U}_{Li} \gamma^\mu D_{Li}) W_\mu^-
+ (\overline{D}_{Li} \gamma^\mu U_{Li}) W_\mu^+ \Bigr ] \\
&=& -{g\over\sqrt{2}} \Bigl [ (\overline{U}_{L} \gamma^\mu {\boldmath 1} D_{L}) W_\mu^-
+ (\overline{D}_{L} \gamma^\mu {\boldmath 1} U_{L}) W_\mu^+ \Bigr ] \\
&\equiv& -{g\over\sqrt{2}} \Bigl [ (\overline{U}_{L}^\prime U_u^\dagger \gamma^\mu U_d D_{L}^\prime ) W_\mu^-
+ (\overline{D}_{L}^\prime U_d^\dagger \gamma^\mu U_u U_{L}^\prime ) W_\mu^+ \Bigr ] \\
&\equiv& -{g\over\sqrt{2}} \Bigl [
\underbrace{(\overline{U}_{L}^\prime \gamma^\mu V_{CKM} D_{L}^\prime )}_{=j^{\mu +}_{CC}} W_\mu^- \\
&\hphantom{=}& \hphantom{-{g\over\sqrt{2}} \Bigl [}
 + \underbrace{(\overline{D}_{L}^\prime V_{CKM}^\dagger 
 \gamma^\mu U_{L}^\prime )}_{=j^{\mu -}_{CC}} W_\mu^+ \Bigr ]
\end{eqnarray*}
\textBlack

mit der \Blue{unit\"aren Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (CKM)-Matrix $V_{CKM}=U_u^\dagger U_d$.}
\vfill
\clearpage

\begin{large}
\Blue{\bf 1.4.3.1 Mischung der Quark-Flavours}
\end{large}
\vspace{4mm}

Die \Blue{``Quark-Mischungsmatrix'' $V_{CKM}$}
f\"uhrt zu \Red{geladenen schwachen \"Uberg\"angen
zwischen den Quarkgenerationen}, definiert als die Masseneigenzust\"ande der Quarks, 
die an die elektromagnetische und starke Wechselwirkung
koppeln, und gibt verschiedene Gewichte f\"ur die Wahrscheinlichkeit
der schwachen CC-\"Uberg\"ange zwischen den
up- und down-artigen Masseneigenzust\"anden der Quarks:

\textRed
\[ \left(\begin{array}{c} u \\ c \\ t \\ \end{array} \right) \longleftrightarrow
\left(\begin{array}{c} d_C \\ s_C \\ b_C \\ \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{ccc}
V_{ud} & V_{us} & V_{ub} \\
V_{cd} & V_{cs} & V_{cb} \\
V_{td} & V_{ts} & V_{tb} \\
\end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} d \\ s \\ b \\ \end{array} \right). \]
\textBlack

Z.B.: \Red{$u \longleftrightarrow d_C = V_{ud} d + V_{us} s + V_{ub} b$.}


Die Elemente der CKM-Matrix werden vom Standardmodell nicht vorhergesagt, sondern
m\"ussen experimentell bestimmt werden. Dies ist ein aktiver Forschungszweig, insbesondere
f\"ur die \"Uberg\"ange mit schweren Quarks ($c$, $b$, $t$).
\vfill
\clearpage

{\bf Zahl der unabh\"angigen Parameter der CKM-Matrix:}

\Blue{\underline{F\"ur $n=2$ Generationen}:}

Bis zur Entdeckung des bottom-Quarks.

Reelle orthogonale $2\times 2$ Matrix mit \Red{1 reellen Parameter, keine komplexe Phase:}
\vspace{-10mm}

\textRed
\[ {\mathrm Cabibbo-Matrix:}\; V=\left(\begin{array}{rr} \cos\theta_c & \sin\theta_c  \\
                                                        -\sin\theta_c & \cos\theta_c  \\ \end{array} \right).\]
\textBlack
\vspace{-10mm}

\Red{$\theta_c$ ist der Cabibbo-Winkel}
mit $\sin\theta_c \approx 0.23$ und $\cos\theta_c \approx 0.95$.
\vspace{2mm}

\Blue{\underline{F\"ur $n=3$ Generationen}:}

CKM-Matrix mit \Red{3 reellen Parametern und 1 komplexen Phase: $V^\ast\neq V$}
(m\"oglich nur f\"ur $\ge 3$ Generationen):
\vspace{-5mm}

\textRed
\[ \hspace{-3mm}\left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & \hphantom{-}c_{23} & s_{23} \\
0 & -s_{23} & c_{23} \\
\end{array} \right) 
\hspace{-4mm}
\left( \begin{array}{ccc}
c_{13} & 0 & s_{13}e^{-i\delta} \\
0 & 1 & 0 \\
-s_{13}e^{i\delta} & 0 & c_{13} \\
\end{array} \right) 
\hspace{-4mm}
\left( \begin{array}{ccc}
\hphantom{-}c_{12} & s_{12} & 0 \\
-s_{12} & c_{12} & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array} \right) \]

\vspace{-21mm}
\[\hspace{-3mm}=\hspace{-2mm} \left( \begin{array}{ccc}
c_{12}c_{13} & s_{12}c_{13} & s_{13}e^{-i\delta} \\
-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta} &
c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta} & s_{23}c_{13} \\
s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta} &
-s_{23}c_{12}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta} & c_{23}c_{13} \\
\end{array} \right) \]
\textBlack
%
\vspace{-14mm}

Mit den 3 Mischungswinkeln $\theta_{ij}$ ($i,j=1,2,3; i>j$),\hfill\break
$c_{ij}=\cos\theta_{ij}>0$, 
$s_{ij}=\sin\theta_{ij}>0$, 
und dem Phasen\-faktor $e^{i\delta}$.


\vspace{-200mm}
\clearpage

{\bf Allgemeine Herleitung:}

Komplexe $n\times n$-Matrix: $2n^2$ Parameter.

Unit\"are Matrix mit $n^2$ Nebenbedingungen ($V^\dagger V=1$): $n^2$ Parameter.

Davon sind $\underline{n(n-1)/2}$ Parameter reell; die \"ubrigen $n^2- n(n-1)/2 = n(n+1)/2$ Parameter sind komplexe
Phasenfaktoren.

Denn eine reelle unit\"are Matrix (orthogonale Matrix) mit $n+ n(n-1)/2$ Nebenbedingungen ($V^TV=1$)
hat $n^2 - n - n(n-1)/2= n(n-1)/2$ unabh\"angige reelle Parameter.

$n$ Phasenfaktoren k\"onnen in den $n$ $U$-Feldern
durch Neudefinition ihrer Phase absorbiert werden (aus der 1.~Spalte der Mischungsmatrix):

\vspace{-17mm}
\[ U_{Lj}\longrightarrow e^{-i\alpha_j^{(u)}} U_{Lj}\;\;\; (j=1,...,n). \]

\vspace{-8mm}
$n-1$ weitere Phasenfaktoren k\"onnen aus der 1.~Reihe der Mischungsmatrix
in den $n-1$ $D$-Feldern absorbiert werden:

\vspace{-17mm}
\[ D_{Lj}\longrightarrow e^{-i\alpha_j^{(d)}} D_{Lj}\;\;\; (j=2,...,n), \]

\vspace{-8mm}
d.h.\ insgesamt werden $2n-1$ Phasenfaktoren eliminiert.

Danach bleiben $n(n+1)/2 - (2n-1) = \underline{(n-1)(n-2)/2}$ unabh\"angige Phasenfaktoren \"ubrig.
\vfill
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\BackgroundEPS{Bilder/page137.eps}{0}{0}{1}
\vspace*{10mm}

Die aktuellen
Me\ss werte f\"ur die CKM-Matrixelemente sind:
\vspace*{-5mm}
\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
\hline
\Red{$|V_{ud}|= 0.9736\pm 0.0010$}  & aus nuklearem $\beta$- und $\mu$-Zerfall\\
\Red{$|V_{us}|= 0.2205\pm 0.0018$} & aus semilept.\ Kaon-Zerf\"allen \\
& $K\to\pi e\nu_e$\\
\Red{$|V_{ub}|= (3.6\pm 0.5)\cdot 10^{-3}$} & aus semileptonischen Zerf\"allen \\
& $B\to X_u\ell\nu_\ell$\\
\hline
\Red{$|V_{cd}|= 0.224\hphantom{1}\pm 0.016$} & charm-Quark-Produktionsrate \\
& in $\nu (\bar{\nu})$-Kern-Streuung\\
\Red{$|V_{cs}|= 1.01\hphantom{17}\pm 0.18$} & semileptonische charm-Quark \\
& Zerf\"alle $D\to Ke\nu_e$ ($c\to s$) \\
\Red{$|V_{cb}|= 0.040\hphantom{7}\pm 0.002$} & aus semilept.\ B-Mesonzerf\"allen\\
\hline
\Red{$|V_{td}|=0.009\pm 0.002$} & von $B_d^0\overline{B}_d^0$-Mischung \\
\Red{$|V_{td}|<0.009$ ($95\%$ C.L.)} & von $B_s^0\overline{B}_s^0$-Mischung \\
\Red{$|V_{td}/V_{ts}|<0.29$ ($95~\%$ C.L.)} & von $B_d^0\overline{B}_d^0$- und
$B_s^0\overline{B}_s^0$-Mischung \\
\Red{$|V_{td}/V_{ts}|< 0.56$ ($90~\%$ C.L.)} &
von $b\to s\gamma$ Zerf\"allen \\
\Red{$|V_{ts}/V_{cb}|=1.1\pm 0.4$} &
von $b\to s\gamma$ Zerf\'allen \\
\Red{$|V_{tb}|> 0.016$ ($95~\%$ C.L.)} & aus top-Quark-Zerf\"allen \\
& $t\to W^+b$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\vspace{-6mm}
\textBlue
\begin{Large}
\[ 
\left( \begin{array}{ccc}
V_{ud} & V_{us} & V_{ub} \\
V_{cd} & V_{cs} & V_{cb} \\
V_{td} & V_{ts} & V_{tb} \\
\end{array} \right) \]
\end{Large}
\textBlack
\clearpage

Die \Red{Hierarchie der \"Ubergangswahrscheinlichkeiten und der Quarkmassen}
l\"a\ss t eine Erkl\"arung durch
eine dem Standardmodell \"ubergeordnete Theorie erwarten.

% \textBlue
% \begin{center}
% \begin{Large}
% \[ \begin{array}{ccc}
% \hbox to 4cm{\bf u} & \hbox to 4cm{\bf c} & \hbox to 4cm{\bf t} \\
% \vbox to 3cm{\vfill} & & \\
% \hbox to 4cm{\bf d} & \hbox to 4cm{\bf s} & \hbox to 4cm{\bf b} \\
% \end{array} \]
% \end{Large}
% \end{center}
% \textBlack
% \vspace{-10mm}
\includegraphics[width=\linewidth]{Bilder/Uebergang.eps}

Die n\"aherungsweise
Wolfenstein-Parametrisierung macht die Rangordnung der \"Uberg\"ange zwischen
den Quark-Generationen (Massen/flavour-Eigenzust\"ande) deutlich:
%
\textRed
\[ V_{CKM}\hspace{-1mm} =\hspace{-3mm}
{\left( \begin{array}{ccc}
1-{\lambda^2\over 2} & \lambda & A\lambda^3(\rho-i\eta) \\
-\lambda & 1-{\lambda^2\over 2} & A\lambda^2 \\
A\lambda^3(1-\rho-i\eta) & -A\lambda^2 & 1 \\
\end{array} \right)}\hspace{-1mm} + {\cal O}(\lambda^4), \]
\textBlack
%
bei der die Matrixelemente nach dem kleinen Parameter $\lambda$ entwickelt werden.

Die 4 Wolfenstein-Parameter haben die gemessenen Werte:
%
\textRed
\begin{eqnarray*}
\lambda &\equiv& s_{12} = 0.2205\pm 0.0018,  \\
A &\equiv& s_{23}/\lambda^2 = 0.82\pm 0.06, \\
\sqrt{\rho^2 +\eta^2} &\equiv& |V_{ub}|/A\lambda^3 = 0.36\pm 0.09.
\end{eqnarray*}
\textBlack

\clearpage

Eine \Red{komplexe CKM-Matrix}
erm\"oglicht eine \Red{Beschreibung der beobachteten schwachen Verletzung der CP-Symmetrie}
im Rahmen des Standardmodells (mit 6 Quarks in 3 Generationen),\break
hervorgerufen wiederum durch die schwache Wechselwirkung 
und mit \Red{Ursprung in der Fermion-Higgs-Boson-Kopplung bzw.\ der Quark-Massenmatrix:}

Vorschlag von \Red{Kobayahi und Maskawa 1973} noch vor der Entdeckung der dritten Fermion-Generation
($\tau$-Lepton 1975, bottom-Quark 1977, top-Quark 1994) und vor der Entdeckung des charm-Quarks 1974.

Denn mit
\vspace{-10mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
j^{\mu +}_{CC} &=& \overline{U}_{L} \gamma^\mu V_{CKM} D_{L} 
\stackrel{CP}{\longrightarrow} - \overline{D}_L V_{CKM}^T\gamma^\mu U_L; \\
j^{\mu -}_{CC} &=& \overline{D}_{L} V^\dagger_{CKM} \gamma^\mu U_{L}
\stackrel{CP}{\longrightarrow} - \overline{U}_L \gamma^\mu V_{CKM}^\ast D_L;
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-12mm}

und
\vspace{-12mm}

\textRed
\[ W_\mu^{\pm} \stackrel{CP}{\longrightarrow} - W_\mu^\mp.\]
\textBlack
\vspace{-6mm}

verh\"alt sich
\Red{${\cal L}^{\mathrm Quarks}_{CC}$} unter CP-Transformationen wie
\vspace{-17mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
&\hphantom{\to}& (\overline{U}_{L} \gamma^\mu V_{CKM} D_{L}) W_\mu^-
                 +(\overline{D}_{L} V^\dagger_{CKM} \gamma^\mu U_{L}) W_\mu^+  \\
&\stackrel{CP}{\longrightarrow}& (\overline{D}_L V_{CKM}^T\gamma^\mu U_L)W_\mu^+
                                +(\overline{U}_L \gamma^\mu V_{CKM}^\ast D_L)W_\mu^-,
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-14mm}

d.h.\ ${\cal L}^{\mathrm Quarks}_{CC}$ ist nur CP-invariant, wenn $V^\ast = V$.

\vfill
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{large}
\Blue{\bf 1.4.3.2 Neutrale Str\"ome der Quarks}
\end{large}

\textRed
\[ {\cal L}_{NC} = -e j^\mu_{\mathrm el.magn.}A_\mu - {e\over \sin\theta_W\cos\theta_W} 
\Bigl [j^{\mu 3} - j^\mu_{\mathrm el.magn.} \sin^2\theta_W \Bigr ]Z_\mu \]
\textBlack
\vspace{-8mm}

mit dem elektromagnetischen Strom
\vspace{-17mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
j^\mu_{\mathrm el.magn.} &=& Q_u (\overline{U}\gamma^\mu U) + Q_d (\overline{D}\gamma^\mu D) \\
                         &=& Q_u (\overline{U}^\prime \gamma^\mu U^\prime) + Q_d (\overline{D}^\prime\gamma^\mu D^\prime) \\
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-20mm}

und dem Strom der dritten Komponente des schwachen Isospins
\vspace{-20mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
j^{\mu 3} &=& I_u^3 (\overline{U}\gamma^\mu U) + I^3_d (\overline{D}\gamma^\mu D) \\
&=& {1\over 2} (\overline{U}\gamma^\mu U) -{1\over 2} (\overline{D}\gamma^\mu D) \\
&=& {1\over 2} (\overline{U}^\prime \gamma^\mu U^\prime) -{1\over 2} (\overline{D}^\prime\gamma^\mu D^\prime). \\
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-20mm}

Die \Red{neutralen Str\"ome bleiben flavour-erhaltend} f\"ur die Masseneigenzust\"ande $U^\prime$, $D^\prime$
wie f\"ur die schwachen Eigenzust\"ande $U$, $D$ wegen der Unitarit\"at der Transformation, 
\vspace{-8mm}

\textRed
\[ U_{u,d}^\dagger U_{u,d} =1; \;\; V_{u,d}^\dagger V_{u,d} =1, \]
\textBlack
\clearpage

so da\ss\ z.B.\  gilt
\vspace{-15mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
\overline{U}\gamma_\mu U &=& \overline{U}_L \gamma_\mu U_L + \overline{U}_R\gamma_\mu U_R \\
&=& \overline{U}_L^\prime U_u^\dagger \gamma_\mu U_u U_L^\prime + \overline{U}_R^\prime V_u^\dagger\gamma_\mu V_uU_R^\prime \\
&=& \overline{U}_L^\prime\gamma_\mu U_L^\prime + \overline{U}_R^\prime \gamma_\mu U_R^\prime 
= \overline{U}^\prime \gamma_\mu U^\prime .
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-15mm}

$\Longrightarrow$ Keine CP-Verletzung in der schwachen neutralen und der elektromagnetischen WW.

Die kinetischen Terme bleiben ebenfalls unver\"andert.

\Red{$\Longrightarrow$ Keine flavour-\"andernden Prozesse mit neutralen Str\"omen (FCNC-Prozesse)
in 1.~Ordnung im Standardmodell.}

Unterdr\"uckung von FCNC-Prozessen auch in h\"oherer Ordnung der schwachen WW: durch den

\Blue{``{\bf GIM-Mechanismus}'' (\underline{G}lashow, \underline{I}lliopoulos, \underline{M}aiani).}

Experimentell sind FCNC-Prozesse sehr klein, z.B.\ ist das Verzweigungsverh\"altnis
\vspace{-5mm}

\textRed
\[ BR(K_L^0\to \mu^+\mu^- ) = {\Gamma (K_L^0\to \mu^+\mu^-)\over \Gamma^{\mathrm tot}_{K_L^0}}\approx 9\cdot 10^{-7}\%\]
\textBlack
\vspace{-5mm}

w\"ahrend \Red{$BR(K^+\to\mu^+\nu_\mu) = 63.5\%$} (typischer schwacher CC-Zerfall).

(NB: Schwacher Zerfall in Myonpaar bevorzugt gegen\"uber Zerfall in Elektronpaar wegen Drehimpulserhaltung
und Parit\"atsverletzung!)
\vfill
\clearpage

In 2.~Ordnung der schwachen Wechselwirkung ist der Proze\ss\ f\"ur den Zerfall
$K_L^0\to\mu^+\mu^-$:

\includegraphics[width=\linewidth]{Bilder/K_long.eps}

Gegenseitige Aufhebung der Amplituden f\"ur up- und charm-Quark-Austausch wegen der
Unitari\"at der CKM-Matrix (Orthogonalit\"at der Cabibbo-Matrix f\"ur 2 Generationen):
\vspace{-10mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
{\cal M}_u &\sim& \hphantom{-}g^4\sin\theta_C\cos\theta_C; \\
{\cal M}_c &\sim& -g^4\sin\theta_C\cos\theta_C;
\end{eqnarray*}
\textBlack

Details abh\"angig vom Wert der charm-Quark-Masse $m_c \gg m_u$.

\Red{$\Longrightarrow$ Vorhersage f\"ur die Masse des charm-Quarks: $>1$~GeV.}

\vfill
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Konsequenzen der Quark-Flavour-Mischung in der schwachen Wechselwirkung:

\begin{enumerate}

\item Quark-Flavour-Oszillationen.

\item Verletzung der CP-Symmetrie.

\end{enumerate}

\vfill
\clearpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
