% --------------------------------------------------------------------
% Vorlesung WS 2021/22
% Author: H. Kroha
% --------------------------------------------------------------------
%FORMAT latex % use LATEXE format
\documentstyle[epsfig,rotating,colordvi,fancyheadings]{foils}
% ---------------------------------------------------------------------
\oddsidemargin  -17mm
\evensidemargin -17mm
\topmargin -25mm
%\headheight 12pt
%\headsep 25pt
\footheight 12pt
\footskip 25pt
\textheight 265mm
\textwidth 190mm

\font\tenrm=cmr10

%\psdraft
\setcounter{page}{53}

\def\BackgroundEPS#1#2#3#4{%
    \special{ps: @beginspecial @setspecial initmatrix
                0.9 setgray #2 #3 translate #4 dup scale}
    \special{ps: plotfile #1}
    \special{ps: @endspecial}
}

\begin{document}

\pagestyle{fancyplain}
 \headrulewidth 0pt
 \plainheadrulewidth 0pt
 \footrulewidth 1pt
 \plainfootrulewidth 1pt
\rhead[\fancyplain{}{}]{\fancyplain{}{}}
\lhead[\fancyplain{}{}]{\fancyplain{}{}}

\rfoot[\fancyplain{}{}]%
{\fancyplain{\scriptsize \thepage}%
{\scriptsize \thepage}}
\cfoot{}
\lfoot[\fancyplain{}{}]%
{\fancyplain{\scriptsize Prof.~Dr.~H.~Kroha: Tests des Standardmodells der Teilchenphysik,
WS 2021/22}%
{\scriptsize Prof.~Dr.~H.~Kroha: Tests des Standardmodells der Teilchenphysik, WS 2021/22}}

\fboxrule=0.6mm
\fboxsep=3mm
\parindent=0.0em
\arrayrulewidth=0.6mm
\tabcolsep=1.5mm
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{large}
\Blue{\bf 1.3 Das Standardmodell der Teilchenphysik:}\hfill\break
\Blue{\bf \hphantom{1.3} Die fundamentalen Wechselwirkungen\hfill\break
\hphantom{1.3} und ihre Vereinheitlichung}\hfill
\end{large}

Lokale Eichfeldtheorien (Yang-Mills-Theorien; Yang und Mills 1954)
erlauben eine einheitliche Beschreibung aller bekannten Wechselwirkungen 
der fundamentalen Materiebausteine
(Leptonen und Quarks) basierend auf einem Symmetrieprinzip.

Die Eichsymmetriegruppen legen die Eigenschaften der Wechselwirkungen
vollst\"andig fest. 
\Red{Die elementaren Fermionen (Spin~${1\over 2}$)
besetzen die Multipletts der fundamentalen Darstellungen der Eichsymmetrien.}

Die Generatoren der Eichsymmetriegruppen (Lie-Gruppen) sind die
verallgemeinerten Ladungsoperatoren der Wechselwirkungen (hermitesch).
Die Wechselwirkung wird vermittelt durch den Austausch von
\Red{Vektorbosonen (Spin~1), den Eichfeldquanten.}

Die elektromagnetische, die schwache und die starke Wechselwirkung
lassen sich durch die einfachsten speziellen unit\"aren Symmetriegruppen
beschreiben:

\renewcommand{\arraystretch}{1.20}
\textBlue
\begin{center}
\begin{tabular}{l|ccc}

Wechselwirkung & El.\ magn.  & Schwach & Stark \\
\hline

Eichsymmetrie  & $U(1)$      & $SU(2)$  & $SU(3)$ \\

Theorie        & QED         & GSW      & QCD     \\

Ladungen       & elektrische & 3 schwache & 8 Farb- \\
               & Ladung      & Ladungen   & ladungen \\

Eichbosonen    & Photon      & $W^\pm$, $Z^0$ & 8 Gluonen \\
\end{tabular}
\end{center}
\textBlack
\clearpage

Die Zahl der unabh\"angigen Parameter und damit der Generatoren
(verallgemeinerte Ladungen) der Gruppe $SU(N)$ ist $N^2-1$ (Ordnung der Gruppe).

Die Dimension der fundamentalen Darstellung ist $N$ =  Zahl der
inneren Freiheitsgrade der Teilchenzust\"ande.

Die Eichsymmetriegruppe des Standardmodells ist das Produkt der Lie-Gruppen
\vspace{-5mm}

\textRed
\[ U(1)\otimes SU(2)\otimes SU(3) \]
\textBlack
\vspace{-5mm}


Die freien Fermionenzust\"ande des Standardmodells sind daher\hfill\break
($f=e,\mu,\tau, \nu_e, \nu_\mu, \nu_\tau, u, d, s, c, b, t$):
\vspace{-20mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
&\Black{.}& \Blue{\mathrm Teilchen:} \\
\psi_f^+ (x; E>0) & = & u(p) e^{-ip_\mu x^\mu}\times e^{iQ_f\alpha}\times
{\left( \begin{array}{c} u \\ d \end{array} \right)}_L \times
{\left( \begin{array}{c} r \\ g \\ b \end{array} \right)}_q \\
&\Black{.}& \Blue{\mathrm Antiteilchen:} \\
\psi_f^- (x; E<0) & = & v(p) e^{ip_\mu\cdot x^\mu}\times e^{-iQ_f\alpha}\times
{\left( \begin{array}{c} u \\ d \end{array} \right)}_R \times
{\left( \begin{array}{c} \bar{r} \\ \bar{g} \\ \bar{b} \end{array} \right)}_{\bar{q}} \\
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-15mm}

Vorbild f\"ur die moderne Beschreibung der Teilchenphysik
durch Eichtheorien ist die Quantenelektrodynamik.
\vfill
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{large}
\Blue{\bf 1.3.1 Die Quantenelektrodynamik (QED)}
\end{large}
\vspace{4mm}


Eichfeldtheorie mit der Symmetriegruppe U(1) (elektrische Ladung).

\Red{Eichfeld (Photonfeld):} 4-Vektorpotential $A_\mu (x)$.

\Red{Eichboson (Photon):} Spin 1, masselos aufgrund der Eichsymmetrie.

Lagrangedichte f\"ur Kopplung an elementare Fermionen\hfill\break
($f=e,\mu,\tau, u, d, s, c, b, t$):
\vspace{-10mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
{\cal L}_{QED} = - {1\over 4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} & + &
\sum_f \overline{\psi}_f (i\gamma^\mu D_\mu - m_f)\psi_f  \\
               = - {1\over 4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} & + &
\sum_f \overline{\psi}_f (i\gamma^\mu \partial_\mu - m_f)\psi_f  \\
               & - & e\Biggl (\sum_f Q_f \overline{\psi}_f\gamma^\mu \psi_f\Biggr ) A_\mu \\
= {\cal L}_{\mathrm frei} & + & {\cal L}_{WW}
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-8mm}

mit der kovarianten Ableitung
\vspace{-5mm}

\textRed
\[ D_\mu = \partial_\mu + ieQ_f A_\mu (x) \]
\textBlack
\vspace{-13mm}

und dem Feldtensor
\vspace{-9mm}

\textRed
\[ F_{\mu\nu} (x)= \partial_\nu A_\mu (x) - \partial_\mu A_\nu (x). \]
\textBlack
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Strom-Eichfeld-Kopplung:
\vspace{-8mm}

\textRed
\[ {\cal L}_{WW}  =  -ej^\mu_{\mathrm el.magn.}A_\mu \]
\textBlack
\ 

\vspace*{-3.5cm}\hspace*{13cm}
\includegraphics[width=5cm]{Bilder/Stromeichfeldkopplung.eps}
\ 

\vspace{-11.5mm}

mit dem elektromagnetischen Strom
\vspace{-8mm}

\textRed
\[ j^\mu_{\mathrm el.magn.}=\sum_f Q_f \overline{\psi}_f \gamma^\mu \psi_f. \]
\textBlack
\vspace{-8mm}

Die Kopplungst\"arke ist gegeben durch die Elementarladung $e$.

$Q_f$ ist Eigenwert des Ladungsoperators (Generator der $U(1)$-Eichsymmetriegruppe).

Lokale U(1)-Eichtransformationen:
\vspace{-18mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
\psi_f (x) & \longrightarrow & e^{iQ_f\alpha (x)}\psi_f (x) \\
\overline{\psi}_f (x) & \longrightarrow & e^{-iQ_f\alpha (x)}\overline{\psi}_f (x) \\
A_\mu (x)  & \longrightarrow & A_\mu (x) - {1\over e}\partial_\mu \alpha (x) \\
D_\mu \psi_f (x) & \longrightarrow & e^{iQ_f\alpha (x)} D_\mu\psi_f (x).
\end{eqnarray*}
\textBlack

d.h. \Red{$\overline{\psi}_f\gamma_\mu\psi_f$} und \Red{$\overline{\psi}_f D_\mu \psi_f$} sind invariant.
\clearpage

Globale U(1)-Eichsymmetrie $\Longrightarrow$ Erhaltung der elektrischen Ladung
(Noether-Theorem):

Kontinuit\"atsgleichung: 

\textRed
\[ \partial_\mu j^\mu_{el.magn.} = {\partial \rho\over \partial t}+\vec{\nabla}\cdot \vec{j}=0. \]

\[\Longrightarrow {dQ\over dt} = \int d^3 x {\partial\rho\over \partial t} =
-\int d^3 x \vec{\nabla}\cdot \vec{j} = - \oint d\vec{\sigma}\cdot\vec{j} = 0. \]
\textBlack

Die Eichinvarianz verlangt \Red{$m_\gamma =0.$}

Experimentell:\hfill\break
\Blue{$m_\gamma < 4.5\cdot 10^{-16}$~eV} aus der Vermessung des Magnetfelds
des Jupiter durch die Pioneer~10-Sonde und\hfill\break
\Blue{$m_\gamma < 3\cdot 10^{-27}$~eV} aus der Vermessung des galaktischen Magnetfelds.

Die Eichwechselwirkungen m\"ussen unendliche Reichweite besitzen!
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\bf Weitere Symmetrien der QED:}

\begin{itemize}

\item \Blue{Lorentzinvarianz + Invarianz unter Raum-Zeit-Translationen und r\"aumlichen Rotationen}
(Homogenit\"at und Isotropie der Raum-Zeit)

$\Longrightarrow$ Energie-Impuls- und Drehimpulserhaltung (Noether-Theorem).

\item \Blue{Diskrete Symmetrien:}

\begin{enumerate}

\item \Red{Lepton- und Quarkflavour-Erhaltung.}
\vspace{5mm}

\item \Red{Parit\"at P (Raumspiegelung):} 
$\vec{x}\longrightarrow -\vec{x}$, $\vec{p}\longrightarrow -\vec{p}$.

\item \Red{Zeitinversion T: $t\longrightarrow -t$.}

\item \Red{Ladungskonjugation C:} $Q_f\longrightarrow -Q_f$.

\end{enumerate}
\end{itemize}
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{large}
\Blue{\bf 1.3.2 Die Schwache Wechselwirkung}
\end{large}

Beschreibung in Analogie zur QED mit Kopplung schwacher Str\"ome an
massive, elektrisch geladene Feldquanten $W^\pm$:
\vspace{-9mm}

\textRed
\[ j^{\mu -}W_\mu^+  + j^{\mu +} W_\mu^- \]
\textBlack
\vspace{-16mm}

Kurzreichweitige Wechselwirkung mit \"Anderung der Lepton- und
Quark-Flavour.

Nuklearer $\beta$-Zerfall:  \Red{$n\longrightarrow pe^-\overline{\nu}_e$}

%\mbox{\epsfig{figure=/home/iwsatlas1/kroha/pictures/p-decay.eps,width=0.90\textwidth}}
\includegraphics[height=7cm]{Bilder/Betazerfall.eps}
%\vspace{7cm}

Myonzerfall: \Red{$\mu^+\longrightarrow e^+\nu_e\overline{\nu}_\mu$}

\includegraphics[height=7cm]{Bilder/Myonzerfall.eps}

%\mbox{\epsfig{figure=/home/iwsatlas1/kroha/pictures/mu-decay.eps,width=0.90\textwidth}}
\vfill
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Schwache \"Uberg\"ange legen Paarung der elementaren Fermionen
in Dubletts nahe, der fundamentalen Darstellung der SU(2)-Gruppe
(in Analogie zu Spin und Isospin).

Linksh\"andige Zust\"ande in SU(2)-Dubletts:
%
\textBlue
\[ \begin{array}{lllccc}
& & & Q_f & Y_f & I^0_f \\
L_\ell : \Red{{\left( \begin{array}{c} \nu_e    \\ e^-   \end{array} \right)}_L} &
\Red{{\left( \begin{array}{c} \nu_\mu  \\ \mu^- \end{array} \right)}_L} &
\Red{{\left( \begin{array}{c} \nu_\tau \\ \tau^-\end{array} \right)}_L} &
\begin{array}{c} \hphantom{-}0 \\ -1 \end{array} &
\begin{array}{c} -1 \\ -1 \end{array} &
\begin{array}{c} +{1\over 2} \\ -{1\over 2} \end{array} \\
%
& & & & & \\[5mm]
%
L_q : \Red{{\left( \begin{array}{c} u \\ d^\prime  \end{array} \right)}_L} &
\Red{{\left( \begin{array}{c} c \\ s^\prime  \end{array} \right)}_L} &
\Red{{\left( \begin{array}{c} t \\ b^\prime  \end{array} \right)}_L} &
\begin{array}{c} +{2\over 3} \\ -{1\over 3} \end{array} &
\begin{array}{c} +{1\over 3} \\ +{1\over 3} \end{array} &
\begin{array}{c} +{1\over 2} \\ -{1\over 2} \end{array} \\
%
& & & & & \\[5mm]
\multicolumn{6}{l}{\Black{\mathrm Rechtsh\ddot{a}ndige\;\, Zust\ddot{a}nde\;\, in\;\, SU(2)-Singuletts:}} \\
& & & & & \\[2mm]
%
\hphantom{L_q :}\Red{\nu_{eR}} & \Red{\nu_{\mu R}} & \Red{\nu_{\tau R}} & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 & 0 \\
%
\hphantom{L_q :} \Red{e_R^-} & \Red{\mu_R^-} & \Red{\tau_R^-} & -1 & -2 & 0 \\
%
\hphantom{L_q :} \Red{u_R} & \Red{c_R} & \Red{t_R} & +{2\over 3} & +{4\over 3} & 0 \\
%
\hphantom{L_q :} \Red{d_R} & \Red{s_R} & \Red{b_R} & -{1\over 3} & -{2\over 3} & 0 \\
%
\end{array} \]
\textBlack
%
\vspace{-15mm}

Es gilt die Beziehung der Ladungen
\vspace{-15mm}

\textRed
\[Q=I^0 + Y/2 \]
\textBlack
\vspace{-10mm}

Die schwache Wechselwirkung bewirkt flavour-\"andernde \"Uberg\"ange
innnerhalb der Fermion-Dubletts $L_\ell$ (Leptonen) und $L_q$ (Quarks).                               
\vfill
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\Red{Nur linksh\"andige Fermionen $\psi_L$ bzw.\ rechtsh\"andige Anti-Fermionen
$\overline{\psi}_R$ nehmen an der schwachen WW teil.}

$\Longleftrightarrow$ beobachtete maximale Parit\"atsverletzung durch die
schwache WW ($V-A$-Form der schwachen Str\"ome).

Parit\"atsverletzung in der schwachen Wechselwirkung:

\begin{itemize}

\item \Blue{$K^+\to \pi^+\pi^0$ und $K^+\to \pi^+\pi^-\pi^+$ (Lee, Yang 1956).}

\item \Blue{Elektronpolarisation im Kern-$\beta$-Zerfall (Wu 1957).}
\end{itemize}

Projektion der Chiralit\"atszust\"ande:
\vspace{-15mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
\psi_L & = & P_L\psi = \Biggl ({1-\gamma_5\over 2}\Biggr )\psi \\
\psi_R & = & P_R\psi = \Biggl ({1+\gamma_5\over 2}\Biggr )\psi \\
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-25mm}

mit der Chiralit\"at $\gamma_5=\gamma_5^\dagger$:
\vspace{-22mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
\gamma_5 \psi_L & = & -\psi_L \\
\gamma_5 \psi_R & = & \hphantom{-}\psi_R
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-19mm}

Schwache Fermion-Str\"ome haben damit die Form:
\vspace{-18mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
j^\mu_{\mathrm schwach} & = & \underline{\overline{\psi}^\prime_L\gamma^\mu \psi_L} \\
\hfill & = & (P_L \psi^\prime)^\dagger\gamma^0\gamma^\mu P_L\psi = \psi^{\prime\dagger} P_L\gamma^0\gamma^\mu P_L\psi \\
\hfill & = & \overline{\psi}^\prime\gamma^\mu P_L\psi = 
\underline{{1\over 2}\overline{\psi}^\prime\gamma^\mu (1-\gamma_5)\psi}
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-12mm}

d.h. Vektor ($\gamma^\mu$)--Axialvektor ($\gamma^\mu\gamma_5$) oder $V-A$ Strom.
\vfill
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\mbox{\epsfig{figure=Bilder/symmetries.eps,width=1.05\textwidth}}

\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\Red{Lokale schwache Isospin-Eichsymmetrie $SU(2)_L$} zur Beschreibung der
schwachen Wechselwirkung:
\vspace{-6mm}

\textBlue
\begin{itemize}
\item[] SU(2)-Dubletts\hphantom{i} (L): $L_f \longrightarrow e^{i\vec{I}\cdot\vec{\beta}(x)}L_f$.

\item[] SU(2)-Singuletts (R): $\psi_R\longrightarrow \psi_R$.
\end{itemize}
\textBlack
\vspace{-5mm}

\Red{3 Parameter (z.B.\ Euler-Winkel), 3 Generatoren (Ladungen):}

\begin{itemize}
\item Isospinvektor $\vec{I}=\left( \begin{array}{c} I_x \\ I_y \\ I_z \end{array} \right)$

\item Lie-Algebra:  $[I_i,I_j]=i\varepsilon_{ijk}I_k$\hfill\break
mit Strukturkonstanten $\varepsilon_{ijk}$.

\item Auf- und Absteigeoperatoren: $I^\pm = {1\over 2} (I_x\pm iI_y)$; $I^0=I_z$.
\end{itemize}


\Red{Fundamentale SU(2)-Darstellung (2-dimensional):}

\begin{itemize}

\item Fermion-Dubletts mit $|\vec{I}|={1\over 2}$, $I_z = \pm {1\over 2}$.

\item $\vec{I}={\vec{\tau}\over 2}$ mit Pauli'schen Spin-Matrizen $\tau_i$ ($i=1,2,3$).

$[\tau_i,\tau_j]=2i\varepsilon_{ijk}\tau_k$, \hspace{10mm}$\tau^\pm = {1\over 2}(\tau_1\pm i\tau_2)$.

\end{itemize}

\vspace{-10mm}
\[ \tau^+ = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right);
   \tau^- = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right). \]
\vfill
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{large}
\Blue{\bf 1.3.3 Die Elektroschwache Wechselwirkung\hfill\break
\hphantom{1.3.3} (Glashow-Salam-Weinberg-Theorie)}
\end{large}
\vspace{4mm}

\Red{Gemeinsamer Ansatz mit lokaler $SU(2)_L$- und $U(1)_Y$-Eichsymmetrie}\hfill\break
(\underline{G}lashow 1961, \underline{S}alam 1968, \underline{W}einberg 1967).

Die elektromagnetische Wechselwirkung mu\ss\ wegen der elektrisch geladenen
schwachen Eichbosonen $W^\pm$ mit\-ein\-ge\-schlossen werden.

\Red{Y ist die schwache Hyperladung mit $[I_i,Y]=0$, $i=1,...,3$ (direktes Produkt der Symmetriegruppen).}

Deshalb is $Y_f$ gleich f\"ur die beiden Mitglieder eines $SU(2)_L$-Dubletts und $Q\neq Y$.

Die elektromagnetischen Ladungen in den Multipletts ergeben sich konsistent
aus der Beziehung \Red{$Q=I_3 + Y/2$.}

Damit entsteht eine vereinheitlichte Eichtheorie der schwachen und der elektromagnetischen Wechselwirkung, die aber
noch \Red{zwei verschiedene Kopplungskonstanten $g$ (schwacher Isospin) und $g^\prime$ (schwache Hyperladung)
enth\"alt:}
\vspace{-6mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
{\cal L}_{SU(2)\times U(1)}  =  - {1\over 4} f_{\mu\nu}f^{\mu\nu} &-& {1\over 4} F^i_{\mu\nu}F^{i\mu\nu} \\
+ \sum_f (\overline{\psi}_{fR} i\gamma^\mu D_{\mu R})\psi_{fR}
& + & \sum_L (\overline{L}_{f} i\gamma^\mu D_{\mu L})L_{f}
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vfill
\clearpage

mit den linksh\"andigen $SU(2)$-Dubletts $L_f$, den $SU(2)$-Singuletts $\psi_f$
und den kovarianten Ableitungen:
\vspace{-8mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
D_{\mu L} &=& \partial_\mu\cdot {\boldmath 1} + ig^\prime {Y_{fL}\over 2} B_\mu (x)\cdot {\boldmath 1}
+ ig \vec{I}\cdot \vec{W}_\mu (x) \\
          &=& \partial_\mu\cdot {\boldmath 1} + i{g^\prime\over 2} Y_{fL} B_\mu (x)\cdot {\boldmath 1}
          + i{g\over 2} \vec{\tau}\cdot \vec{W}_\mu (x) \\
D_{\mu R} &=& \partial_\mu + ig^\prime {Y_{fR}\over 2} B_\mu (x),
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-8mm}

$\Longrightarrow$ minimale eichinvariante Kopplung an 4 masselose Eichfelder f\"ur $U(1)_Y$ und $SU(2)_L$:
\vspace{-8mm}

\textRed
\[ B_\mu (x)\;\; {\mathrm und}\;\; 
\vec{W}_\mu (x) =\left( \begin{array}{c} W_\mu^x(x) \\ W_\mu^y(x) \\ W_\mu^z(x) \end{array} \right) \]
\textBlack
\vspace{-8mm}

mit den Definitionen der Feldtensoren
\vspace{-8mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
f_{\mu\nu} &=& \partial_\nu B_\mu (x) - \partial_\mu B_\nu (x) \\
& . & \\
F^i_{\mu\nu} &=& \partial_\nu W^i_\mu (x) - \partial_\mu W^i_\nu (x) + g\varepsilon^{ijk}W^j_\mu (x)W^k_\nu (x).
\end{eqnarray*}
\textBlack

so da\ss\ die Form der Lagrangedichte f\"ur die freien Eichfelder wie f\"ur die QED ist (s.o.).
\vfill
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\Red{Alle Fermion-Massen = 0 wegen globaler $SU(2)_L$-Invarianz:}

Unterschiedliche Massen in den Fermion-Dubletts verletzen die SU(2)-Symmetrie.

Ein Dirac-Massenterm 

\[\overline{\psi}\psi = m \overline{\psi}(P_L^2 + P_R^2)\psi
 = m(\overline{\psi}_L\psi_R + \overline{\psi}_R\psi_L)\] 

ist nicht invariant.

\Red{$\Longrightarrow$ Massen der elektroschwachen Eichbosonen (au\ss er $\gamma$) und der Fermionen durch
spontane Brechung der lokalen\hfill\break
$SU(2)_L\otimes U(1)_Y$-Eichsymmetrie (Higgs-Mechanismus, s.u.).}
\vfill
\clearpage

Lokale SU(2)-Eichtransformationen U(x):
\vspace{-5mm}

\textRed
\[ L\longrightarrow L^\prime = U(x)\cdot L= e^{ig {\vec{\tau}\over 2}\vec{\beta}(x)}L \]
\textBlack
\vspace{-12mm}

Damit die Lagrange-Dichte invariant bleibt, ist die
die Transformation der kovarianten Ableitung nach Definition:
\vspace{-5mm}

\textRed
\[ D^\prime_\mu L^\prime = (\partial_\mu + ig{\vec{\tau}\over 2}\cdot \vec{W}^\prime_\mu )L^\prime
\equiv U(D_\mu L) \]
\textBlack
\vspace{-5mm}

(d.h.\ $D^\prime_\mu = UD_\mu U^{-1}$).
\vspace{-6mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
\Longrightarrow U(\partial_\mu L) &+& \biggl (\partial_\mu U\biggr )L +
ig{\vec{\tau}\over 2}\cdot\vec{W}^\prime_\mu  (U\cdot L)   \\
&\equiv &  U(\partial_\mu L) + ig U\biggl ({\vec{\tau}\over 2}\cdot\vec{W}_\mu \biggr )L 
\end{eqnarray*}
\vspace{-12mm}

\[ \Longrightarrow {\vec{\tau}\over 2}\cdot\vec{W}^\prime_\mu (U\cdot L) =
U\biggl ({\vec{\tau}\over 2}\cdot\vec{W}_\mu \biggr )L - {1\over ig} (\partial_\mu U)L. \]
\textBlack
\vspace{-12mm}

Damit ist die Eichtransformation der nicht-Abelschen Eichfelder definiert durch:
\vspace{-12mm}

\textRed
\[ \vec{\tau}\cdot\vec{W}_\mu\longrightarrow
\vec{\tau}\cdot\vec{W}^\prime_\mu = U(\vec{\tau}\cdot \vec{W}_\mu )U^{-1} + {2i\over g} (\partial_\mu U)U^{-1} \]
\textBlack

\vfill
\clearpage

F\"ur infinitesimale Eichtransformationen,
\vspace{-10mm}

\textRed
\[ U(x)= 1+ig {\vec{\tau}\over 2}\cdot\vec{\beta}(x),\]  
\textBlack
\vspace{-18mm}

gilt:
\vspace{-8mm}

\textRed
\[ W^i_\mu (x)\longrightarrow W^{i\prime}_\mu (x)= W^i_\mu (x) - {1\over g}\partial_\mu \beta^i (x)
-\varepsilon^{ijk}\beta^j(x)W^k_\mu (x) \]
\textBlack

F\"ur Abelsche $U(1)_Y$-Eichtransformationen,
\vspace{-8mm}

\textRed
\[ U_Y(x)=e^{i{Y\over 2}\alpha (x)}, \] 
\textBlack
\vspace{-18mm}

gilt allgemein:
\vspace{-8mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
B_\mu (x) \longrightarrow B^\prime_\mu (x) &=& U_YB_\mu U_Y^{-1} + 
{2i\over g^\prime Y} (\partial_\mu U_Y)U_Y^{-1} \\
& \equiv & B_\mu (x) - {1\over g^\prime}\partial_\mu \alpha (x).
\end{eqnarray*}
\textBlack
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\Blue{Umformung der Lagrange-Funktion:}

unter Benutzung von
\vspace{-8mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
\underline{\overline{\psi} \gamma^\mu\partial_\mu \psi} &=& \overline{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu (P_L^2 + P_R^2)\psi \\
&=& \overline{\psi} P_R \gamma^\mu\partial_\mu P_L\psi + \overline{\psi}P_L \gamma^\mu\partial_\mu P_R\psi \\
&=& \underline{\overline{\psi}_L \gamma^\mu\partial_\mu \psi_L + \overline{\psi}_R\gamma^\mu\partial_\mu \psi_R}
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-8mm}

mit $\gamma^\mu P_{L,R} = P_{R,L}\gamma^\mu$, $\overline{\psi} = \psi^\dagger\gamma^0$\hfill\break
und $\overline{\psi}_L= (P_L\psi)^\dagger\gamma^0 = \psi^\dagger P_L\gamma^0 = \overline{\psi}P_R$.
\vspace{-8mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
&.& {\cal L}_{SU(2)\times U(1)}  = \\
&-& {1\over 4} f_{\mu\nu}f^{\mu\nu} - {1\over 4} F^i_{\mu\nu}F^{i\mu\nu}
+ \sum_f \overline{\psi}_f (i\gamma^\mu \partial_\mu )\psi_f \\
&-& g^\prime \sum_f \biggl (\overline{\psi}_f \gamma^\mu {Y_f\over 2}\psi_f\biggr )B_\mu
- g \sum_L \biggl (\overline{L}_f \gamma^\mu {\vec{\tau}\over 2}\cdot L_f\biggr )\vec{W}_\mu \\
& = & {\cal L}_{\mathrm frei} + {\cal L}_{\mathrm WW}.
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-8mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
{\cal L}_{WW} &=& -g^\prime j^\mu_Y B_\mu -g \vec{j}^\mu_I\cdot\vec{W}_\mu \\
& = & -g^\prime j^\mu_Y B_\mu - g j_I^{\mu 0} W_\mu^0 - {g\over\sqrt{2}} \bigl (j_I^{\mu -}W_\mu^+ + j_I^{\mu +}W_\mu^-)\\
& = & {\cal L}_{NC} + {\cal L}_{CC}
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vfill
\clearpage

mit dem flavour-\"andernden geladenen schwachen Strom (CC):
\vspace{-6mm}

\textRed
\[ j_I^{\mu \pm}=\sum_L \overline{L}_f \gamma^\mu \tau^\pm L_f = j_I^{\mu 1} \pm ij_i^{\mu 2} \]
\textBlack
\vspace{-6mm}

und den geladenen schwachen Eichbosonen (siehe $\beta$-Zerf\"alle):
\vspace{-6mm}

\textRed
\[ W_\mu^\pm = {1\over \sqrt{2}} (W_\mu^1\pm iW_\mu^2) \]
\textBlack
\vspace{-6mm}

Denn es gilt:
\vspace{-6mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
& . & (j_I^{\mu -}W_\mu^+ + j_I^{\mu +}W_\mu^-) = \\
& = & (j_I^1 - ij_I^2) {1\over\sqrt{2}}(W_\mu^1+iW_\mu^2) + (j_I^{\mu 1}+ij_I^{\mu 2}){1\over\sqrt{2}}(W_\mu^1-iW_\mu^2) \\
& = & \sqrt{2} (j_I^{\mu 1}W_\mu^1 + j_I^{\mu 2}W_\mu^2).
\end{eqnarray*}
\textBlack

Die flavour-erhaltenden neutralen elektroschwachen Str\"ome $j_Y^\mu$ und $j_I^{\mu 0}$ koppeln an die neutralen
Eichbosonfelder $B_\mu (x)$ und $W_\mu^0$.
\vfill
\clearpage

{\bf Fragen:}

\Red{Wie l\"a\ss t sich der elektromagnetische Strom der QED identifizieren?}

\Red{Gibt es einen neutralen schwachen Strom?}

Die erhaltenen Ladungen aufgrund der globalen SU(2)-Eichsymmetrie sind:
\vspace{-6mm}

\textRed
\[ I^i = \int d^3 x \overline{L}\gamma^0 {\tau^i\over 2} L;  {dI^i\over dt} =0\]
\textBlack
\vspace{-6mm}

mit \Red{$[I^i,I^j]=i\varepsilon^{ijk}I^k$.}
\vfill
\clearpage

{\bf Beispiel:}

\vspace*{-1cm}
Die erste Lepton-Familie $L=\left( \begin{array}{c} \nu_e \\ e^- \\ \end{array} \right)_L$:
%
\vspace*{-8mm}
\textRed
\begin{eqnarray*}
&.& {\cal L}_{WW} (SU(2)) = -g\overline{L} \biggl (\gamma^\mu {\tau^i\over 2}W^i_\mu \biggr )L  \\
&=& -{g\over 2} (\overline{\nu}_{eL}, \overline{e}_L)\gamma^\mu
\left(\begin{array}{cc} W_\mu^3 & W_\mu^1-iW_\mu^2 \\
                        W_\mu^1+iW_\mu^2 & -W_\mu^3 \\ \end{array} \right)
\left(\begin{array}{c} \nu_{eL} \\ e_L \\ \end{array} \right) \\
&=& -{g\over 2} (\overline{\nu}_{eL}, \overline{e}_L)\gamma^\mu
\left(\begin{array}{cc} W_\mu^0 & \sqrt{2} W_\mu^- \\
                        \sqrt{2}W_\mu^+ & -W_\mu^0 \\ \end{array} \right)
\left(\begin{array}{c} \nu_{eL} \\ e_L \\ \end{array} \right) \\
&=& -{g\over 2} [\overline{\nu}_e\gamma^\mu (1-\gamma_5)\nu_e W_\mu^0
                -\overline{e}\gamma^\mu (1-\gamma_5)e W_\mu^0]  \\
&.& -{g\over\sqrt{2}}[\overline{\nu}_e\gamma^\mu (1-\gamma_5)e W_\mu^-
                  +\overline{e}\gamma^\mu (1-\gamma_5)\nu_e W_\mu^+].
\end{eqnarray*}

%
\vspace*{-2.5cm}
\begin{minipage}[c]{0.3\linewidth}
	\includegraphics[width=0.98\hsize]{Bilder/NC_CC.eps}
\end{minipage}
\begin{minipage}[b]{18cm}
\begin{eqnarray*}
\tiny
\tau^1=\left(
\begin{array}{cc}%!! 1 entry pro column! c center-, l left-, r right-aligned!
0 & 1 \\
1 & 0 
\end{array}
\right),\ %
\tau^2=\left(
\begin{array}{cc}%!! 1 entry pro column! c center-, l left-, r right-aligned!
0 & -i \\
i & 0 
\end{array}
\right),\\%
\tiny
\tau^3=\left(
\begin{array}{cc}%!! 1 entry pro column! c center-, l left-, r right-aligned!
1 & 0 \\
0 & -1 
\end{array}
\right).
\end{eqnarray*}%
\end{minipage}
%
\vspace*{-3mm}
\begin{eqnarray*}
{\cal L}_{WW} (U(1)) &=&
-g^\prime \sum_f \biggl (\overline{\psi}_f (\gamma^\mu {Y_f\over 2}\psi_f\biggr )B_\mu \\
&=& -{g^\prime\over 2}Y_L [\overline{\nu}_{eL} \gamma^\mu \nu_{eL} + \overline{e}_L \gamma^\mu e_L]B_\mu \\
&.& -{g^\prime\over 2}[Y_{\nu R} \overline{\nu}_{eR} \gamma^\mu \nu_{eR} + 
Y_{e R} \overline{e}_R \gamma^\mu e_R]B_\mu .\\
\end{eqnarray*}
\vspace*{-2.5cm}
\textBlue
\begin{eqnarray*}
	\small{\left .
	\begin{array}{l}%!! 1 entry pro column! c center-, l left-, r right-aligned!
 	Y_L = -1  \\
 	Y_{e_R} = -2 \\
	Y_{\nu_R} = 0 
	\end{array}
	\right\} \ {\mathsf{mit}}\ Q=I_0+\frac{1}{2}Y.}
\end{eqnarray*}
\textBlack
\textBlack
\vfill
\clearpage

\Blue{$\Longrightarrow$ Neutrale Str\"ome:}
\vspace{-6mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
{\cal L}_{NC} = \hspace{-5mm} &-&\hspace{-5mm}
{1\over 2}(g W_\mu^0 + g^\prime Y_L B_\mu )(\overline{\nu}_{eL}\gamma^\mu \nu_{eL})
-{g^\prime\over 2}Y_{\nu R} B_\mu (\overline{\nu}_{eR}\gamma^\mu \nu_{eR}) \\
                \hspace{-5mm} &+&\hspace{-5mm}
                {1\over 2}(g W_\mu^0 - g^\prime Y_L B_\mu )(\overline{e}_L\gamma^\mu e_L )
-{g^\prime\over 2}Y_{e R} B_\mu (\overline{e}_R\gamma^\mu e_R ).
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-6mm}

Neutrale Str\"ome der ungeladenen Neutrinos k\"onnen nur durch die schwache Wechselwirkung
vermittelt werden.

Sie wurden 1973 am CERN entdeckt in der Reaktion: $\nu_\mu p\to \nu_\mu p$ 
(kein Myon im Endzustand).

Nach orthonormaler Transformation (Rotation) der neutralen Eichbosonfelder
\vspace{-6mm}

\textRed
\[ \left(\begin{array}{c} B_\mu \\ W_\mu^0 \\ \end{array} \right)\longrightarrow
   \left(\begin{array}{c} A_\mu \\ Z_\mu^0 \\ \end{array} \right)
=  \left(\begin{array}{cc} \hphantom{-}\cos\theta_W & \sin\theta_W \\ -\sin\theta_W & \cos\theta_W \\ \end{array} \right)
   \left(\begin{array}{c} B_\mu \\ W_\mu^0 \\ \end{array} \right)  \]
\textBlack
\vspace{-6mm}

mit dem sog.\ Weinberg-Winkel $\theta_W$ und
\vspace{-6mm}

\textRed
\[ \cos\theta_W={g\over\sqrt{g^2 + g^{\prime 2}Y_L^2}};\hspace{10mm} 
\sin\theta_W={g^\prime Y_L\over\sqrt{g^2 + g^{\prime 2}Y_L^2}} \]
\textBlack
\vfill
\clearpage

erh\"alt man das Photonfeld
\vspace{-6mm}

\textRed
\[ A_\mu = {g B_\mu - g^\prime Y_L W_\mu^0\over \sqrt{g^2 + g^{\prime 2}Y_L^2}} \]
\textBlack
\vspace{-6mm}

und ein neues neutrales schwaches Eichbosonfeld (orthogonal zum el.magn.\ Feld):
\vspace{-6mm}

\textRed
\[ Z_\mu^0 = {g W_\mu^0 + g^\prime Y_L B_\mu\over \sqrt{g^2 + g^{\prime 2}Y_L^2}}. \]
\textBlack
\vspace{-6mm}

Sowohl das $Z^0$-Boson als auch die $W^\pm$-Bosonen wurden 1983 am CERN in $p\bar{p}$-Reaktionen
direkt erzeugt und nachgewiesen (s.u.).

Die neutrale schwache Wechselwirkung, Kopplung neutraler schwacher Fermionstr\"ome an das $Z^0$-Eichboson,
wird durch die GSW-Theorie vorhergesagt (schon fr\"uher vermutet) und wurde
1973 in Neutrinostreuung an Protonen in einem Blasenkammerexperimnent am CERN nachgewiesen (s.u.).
\vfill
\clearpage


Durch Invertieren der Transformation,
\vspace{-6mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
B_\mu   &=& {g A_\mu + g^\prime Y_L Z_\mu^0\over \sqrt{g^2 + g^{\prime 2}Y_L^2}}, \\
W_\mu^0 &=& {g Z_\mu^0 - g^\prime Y_L A_\mu\over \sqrt{g^2 + g^{\prime 2}Y_L^2}},
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-6mm}

und Einsetzen in ${\cal L}_{NC}$ ergibt sich:
\vspace{-12mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
&.&{\cal L}_{NC} = \\
&-&{\sqrt{g^2+g^{\prime 2}Y_L^2}\over 2}Z_\mu^0 (\overline{\nu}_{eL}\gamma^\mu \nu_{eL}) \\
                &-&{g g^\prime Y_L\over\sqrt{g^2 + g^{\prime 2} Y_L^2}}A_\mu (\overline{e}_L\gamma^\mu e_L)
                 - {g g^\prime Y_R\over 2\sqrt{g^2 + g^{\prime 2} Y_L^2}}A_\mu (\overline{e}_R\gamma^\mu e_R) \\
                &-&{g^{\prime 2} Y_L^2-g^2\over 2\sqrt{g^2 + g^{\prime 2} Y_L^2}}Z_\mu^0 (\overline{e}_L\gamma^\mu e_L)
                 - {g^{\prime 2} Y_LY_R\over 2\sqrt{g^2 + g^{\prime 2} Y_L^2}}Z_\mu^0 (\overline{e}_R\gamma^\mu e_R)
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-6mm}

$\Longrightarrow$ Neutrinos koppeln nicht an das elektromagnetische Feld $A_\mu$. 

Nur die linksh\"andigen  Neutrinos wechselwirken durch die neutrale schwache Kraft \"uber $Z_\mu^0$.

\Red{Rechtsh\"andige Neutrinos haben keine Wechselwirkung, da auch ihre schwache Ladung $Y (\nu_R ) = 0$.}
\vfill
\clearpage

Die elektromagnetische WW wird identifizert durch die Festlegung:
\vspace{-6mm}

\textRed
\[ Y_L = e {\sqrt{g^2 + g^{\prime 2}Y_L^2}\over g g^\prime} = -1\;\;\; {\mathrm und}\;\;\; Y_R=2Y_L .\]
\textBlack
\vspace{-6mm}

Damit ist
\vspace{-6mm}

\textRed
\[ \sqrt{g^2 + g^{\prime 2}}= {e\over \cos\theta_W \sin\theta_W} \]

\[ e = {-g g^\prime\over\sqrt{g^2 + g^{\prime 2}}} = g^\prime \cos\theta_W = g\sin\theta_W \]

\[ {g^{\prime 2}-g^2\over 2\sqrt{g^2 + g^{\prime 2}}} = 
{e\over\cos\theta_W \sin\theta_W}\biggl (-{1\over 2}+\sin^2\theta_W\biggr ) \]

\[ -{g^{\prime 2}\over \sqrt{g^2 + g^{\prime 2}}} =
{e\over\cos\theta_W \sin\theta_W}\biggl (-\sin^2\theta_W\biggr ) \]
\textBlack
\vfill
\clearpage

und die neutrale Stromwechselwirkung erh\"alt die Form:
\vspace{-6mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
{\cal L}_{NC} = &-&{g\over 2\cos\theta_W} (\overline{\nu}_{eL}\gamma^\mu \nu_{eL}) Z_\mu^0 \\
                &-&{e\over\cos\theta_W \sin\theta_W}\biggl [
                \biggl (-{1\over 2}+\sin^2\theta_W\biggr )(\overline{e}_L\gamma^\mu e_L ) \\
                &+&      (-\sin^2\theta_W)(\overline{e}_R\gamma^\mu e_R )\biggr ]Z_\mu^0 \\
                &-&e\sum_f (Q_f\overline{\psi}_f\gamma^\mu \psi_f) A_\mu
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vspace{-6mm}

Allgemein gilt:
\vspace{-6mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
{\cal L}_{NC} = &-&{e\over\cos\theta_W \sin\theta_W}\cdot \\
&\cdot& \sum_{f_R,f_L} [(I_{f L,R}^3 - Q_{f L,R}\sin^2\theta_W)
(\overline{\psi}_{f L,R}\gamma^\mu \psi_{f L,R})]Z_\mu^0  \\
                &-&e\sum_f (Q_f\overline{\psi}_f\gamma^\mu \psi_f) A_\mu .
\end{eqnarray*}

\vspace{-8mm}
\[{e\over\cos\theta_W \sin\theta_W}(I_f^3 - Q_f\sin^2\theta_W) \]
\textBlack
\vspace{-6mm}

ist die schwache neutrale
Kopplung aller links- und rechtsh\"andigen Fermionzust\"ande an das $Z^0$-Boson.
\vfill
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{large}
\Blue{\bf 1.3.4 Die Starke Wechselwirkung:}\hfill\break
\Blue{\bf\hphantom{1.3.4} Quantenchromodynamik (QCD)}
\end{large}

SU(3)-Eichfeldtheorie der starken Wechselwirkung zwischen Quarks
mit 8 Ladungen (Generatoren) $\lambda^a$ ($a=1,...,8$):

\textRed
\[ [\lambda^a, \lambda^b] = 2if^{abc} \lambda^c \]
\textBlack

mit den Strukturkonstanten $f_{abc}$ der $SU(3)$-Lie-Algebra.

Lokale Eichtransformation: 

\textRed
\[ \Psi_q (x)\longrightarrow \Psi_q^\prime (x)=U(x)\Psi_q (x) = e^{ig_s {\lambda^a\over 2}\gamma^a (x)}\Psi_q (x). \]
\textBlack


Lagrange-Funktion:

\textRed
\[ {\cal L}_{QCD} = - {1\over 4} F^a_{\mu\nu}F^{a \mu\nu} +
\sum_q \overline{\Psi}_q (i\gamma^\mu D_\mu - m_q)\Psi_q  \]
\textBlack

mit der kovarianten Ableitung (mit $D_\mu^\prime \Psi^\prime = U (D_\mu\Psi)$):

\textRed
\[ D_\mu = \partial_\mu + i g_s {\lambda^a\over 2}G^a_\mu ,\]
\textBlack
\vfill
\clearpage

den 8 masselosen Eichbosonfeldern $G_\mu^a (x)$ ($a=1,...,8$)

und den Feldtensoren (mit $\lambda^a F^{a\prime}_{\mu\nu} = U\lambda^a F^a_{\mu\nu}U^\dagger$):

\textRed
\[ F^a_{\mu\nu} = \partial_\nu G^a_\mu - \partial_\mu G^a_\nu + g_s f^{abc} G^b_\mu G^c_\nu .\]
\textBlack


In der fundamentalen SU(3)-Darstellung bilden die Quarkfelder Tripletts mit einer
neuen inneren Quantenzahl ``Farbe'' oder Colour (\underline{r}ot, \underline{g}r\"un, \underline{b}lau):
$\Psi_q = \psi_q\cdot \chi_C$:

\textRed
\[ \chi_C =\left(\begin{array}{c} q_{\mathrm r} \\ q_{\mathrm g} \\ q_{\mathrm b} \end{array} \right);\;\;
   \chi_r =\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right);\;\;
   \chi_g =\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right);\;\;
   \chi_b =\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right). \]
\textBlack

Die Antiquarks befinden sich in der konjugierten fundamentalen Darstellung und besitzen
Antifarben\hfill\break
($\bar{r}$, $\bar{g}$, $\bar{b}$).

\vspace*{-7mm}
\begin{minipage}[c]{0.6\linewidth}
Einf\"uhrung von Schiebeoperatoren
in den $SU(3)_C$ Farb-Tripletts:
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
	\hspace{0.4\hsize}
	\includegraphics[height=2.5cm, width=3cm]{Bilder/Schiebeoperatoren.eps}
\end{minipage}
\vspace{-17mm}

\textRed
\begin{eqnarray*}
I_C^\pm &=& {1\over 2} (\lambda_1\pm i\lambda_2);\;\;\; ({\mathrm Transformation}\;\; g\longleftrightarrow r),  \\
V_C^\pm &=& {1\over 2} (\lambda_4\mp i\lambda_5);\;\;\; ({\mathrm Transformation}\;\; r\longleftrightarrow b),  \\
U_C^\pm &=& {1\over 2} (\lambda_6\pm i\lambda_7);\;\;\; ({\mathrm Transformation}\;\; b\longleftrightarrow g).
\end{eqnarray*}
\textBlack
\vfill
\clearpage

Ihre Funktion in Analogie zu $\tau^\pm$ f\"ur $SU(2)$ ist offensichtlich 
mit der 3-dim.\ Darstellung der $\lambda$-Matrizen (Gell-Mann-Matrizen):

\textBlue
\begin{eqnarray*}
\lambda_1 &=&
\left( \begin{array}{rrr}
0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}\right);\;
\lambda_2 =
\left( \begin{array}{rrr}
0 & -i & \hphantom{-}0 \\
i &  0 & 0 \\
0 &  0 & 0 \\
\end{array} \right)\; (g\longleftrightarrow r) \\
\lambda_4 &=&
\left( \begin{array}{rrr}
0 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 \\
0 &  0 & 0 \\
1 &  0 & 0 \\
\end{array} \right);\;
\lambda_5 =
\left( \begin{array}{rrr}
0 &  \hphantom{-}0 & -i \\
0 &  0 &  0 \\
i &  0 &  0 \\
\end{array} \right)\;(r\longleftrightarrow b) \\
\lambda_6 &=&
\left( \begin{array}{rrr}
0 &  \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 \\
0 &  0 & 1 \\
0 &  1 & 0 \\
\end{array} \right);\;
\lambda_7 =
\left( \begin{array}{rrr}
0 &  \hphantom{-}0 & 0 \\
0 &  0 & -i  \\
0 &  i &  0  \\
\end{array} \right)\; (b\longleftrightarrow g) \\
\lambda_3 &=& \hphantom{{1\over\sqrt{3}}}
\begin{array}{cl}
\begin{array}{lrr} r & \hphantom{-}g & \hphantom{-}b \\ \end{array} & {} \\
\left( \begin{array}{rrr}
1 &  0 & 0 \\
0 & -1 & \hphantom{-}0 \\
0 &  0 & 0 \\
\end{array} \right) & \begin{array}{c} \bar{r} \\ \bar{g} \\ \bar{b} \\ \end{array}
\end{array}\; ({\mathrm koppelt}\;\;  r\bar{r}, -g\bar{g}) \\
\lambda_8 &=& {1\over\sqrt{3}}
\begin{array}{cl}
\begin{array}{lrr} r & \hphantom{-}g & \hphantom{-}b \\ \end{array} & {} \\
\left( \begin{array}{rrr}
1 &  0 &  0 \\
0 &  \hphantom{-}1 &  0 \\
0 &  0 & -2 \\
\end{array} \right) & \begin{array}{c} \bar{r} \\ \bar{g} \\ \bar{b} \\ \end{array}
\end{array}\; ({\mathrm koppelt}\;\;  r\bar{r}, g\bar{g}, -2b\bar{b}).
\end{eqnarray*}
\textBlack
\clearpage

\BackgroundEPS{Bilder/Seite_155.eps}{0}{0}{1}
\begin{figure}
$\Longrightarrow$ Wechselwirkungsterm der QCD-Lagrangedichte:\hfill

\vspace{-15mm}
\textRed
\begin{eqnarray*}
{\cal L}_{WW} (SU(3)_C) &=& -g_s (\overline{\Psi}\gamma^\mu {\lambda^a\over 2}\Psi ) G_\mu^a \\
= - {g_s\over\sqrt{2}}&\Biggl [&
 \overline{\Psi}\gamma^\mu I_C^+\Psi (g\bar{r})_\mu + \overline{\Psi}\gamma^\mu I_C^-\Psi (r\bar{g})_\mu \\
&+&\overline{\Psi}\gamma^\mu V_C^+\Psi (r\bar{b})_\mu + \overline{\Psi}\gamma^\mu V_C^-\Psi (b\bar{r})_\mu \\
&+&\overline{\Psi}\gamma^\mu U_C^+\Psi (b\bar{g})_\mu + \overline{\Psi}\gamma^\mu U_C^-\Psi (g\bar{b})_\mu \\
&+&{1\over\sqrt{2}}\overline{\Psi}\gamma^\mu \lambda^3\Psi G_\mu^3 +
{1\over\sqrt{2}}\overline{\Psi}\gamma^\mu \lambda^8\Psi G_\mu^8 \Biggr ]
\end{eqnarray*}                                                                                                            
\textBlack

\vspace{-5mm}
mit den 8 Gluonfeldern 

\vspace{-15mm}
\textBlue
\begin{eqnarray*}
g_{\mu 1} &=& (g\bar{r})_\mu = {1\over\sqrt{2}}(G_\mu^1-iG_\mu^2), \\
g_{\mu 2} &=& (r\bar{g})_\mu = {1\over\sqrt{2}}(G_\mu^1+iG_\mu^2) = \overline{g}_{\mu 1}, \\
g_{\mu 4} &=& (r\bar{b})_\mu = {1\over\sqrt{2}}(G_\mu^4+iG_\mu^5), \\
g_{\mu 5} &=& (b\bar{r})_\mu = {1\over\sqrt{2}}(G_\mu^4-iG_\mu^5) = \overline{g}_{\mu 4}, \\
g_{\mu 6} &=& (b\bar{g})_\mu = {1\over\sqrt{2}}(G_\mu^6-iG_\mu^7), \\
g_{\mu 7} &=& (g\bar{b})_\mu = {1\over\sqrt{2}}(G_\mu^6+iG_\mu^7) = \overline{g}_{\mu 6}, \\
g_{\mu 3} &=& {1\over\sqrt{2}} (r\bar{r}-g\bar{g}) = G_\mu^3\;\;\; ({\mathrm farbneutral}), \\
g_{\mu 8} &=& {1\over\sqrt{2}} (r\bar{r}+g\bar{g}-2b\bar{b}) = G_\mu^8\;\;\; ({\mathrm farbneutral}).
\end{eqnarray*}                                                                                                            
\textBlack
\vfill
\end{figure}
\clearpage

zu \Red{8 erhaltenen Farbladungsoperatoren,} die sich
in der $N^2-1$=8-dim.\ adjungierten Darstellung befinden: 

\Red{$3_C\otimes \overline{3}_C = 1_C + 8_C$.}

Gluonaustausch \"andert die Farb-, nicht die Flavour-Quantenzahlen der Quarks.

Keine colour-Singulett-Gluonen in $SU(3)_C$ mit $\det U=1$ (im Gegensatz zu $U(3)$):

w\"urden an farbneutrale
Zust\"ande, Mesonen und Baryonen, koppeln und starke Kernkr\"afte mit langer Reichweite, wie
elektromagnetische Felder, hervorrufen.

\Red{``Farbige'' Teilchen (Quarks und Gluonen)} sind in \Red{farbneutralen colour-Singulett-Zust\"anden
(Mesonen $q\bar{q}$ und Baryonen $qqq$)} gebunden und treten nicht als freie Zust\"ande
auf (Confinement-Hypothese).

\begin{normalsize}
{\bf Beispiel:}
\end{normalsize}
\vspace{-8mm}

\textBlue
\[ \pi^+={1\over\sqrt{3}}(u_r\bar{d}_{\bar{r}} + u_g\bar{d}_{\bar{g}} + u_b\bar{d}_{\bar{b}}). \]
\textBlack

(Farbsingulettzustand $1_C$ aus der Darstellung 

\Red{$3_C\otimes \overline{3}_C = 1_C + 8_C$).}

Kernkr\"afte sind Van-der-Waalssche Restwechselwirkung zur
Farbwechselwirkung der Quarks und Gluonen.
\vfill
\clearpage

\begin{normalsize}
\Blue{\bf Motivation der Farbquantenzahl:}
\end{normalsize}

\begin{enumerate}
\item
Die neuen inneren Freiheitsgrade der $SU(3)_C$-Farbsymmetrie erlauben die Konstruktion einer
anti\-symme\-tri\-schen Wellenfunktion f\"ur das Baryon
$\Delta^{++}=(u\uparrow u\uparrow u\uparrow)$ mit $J^P={3\over 2}^+$ und $L=0$:

\textBlue
\[ \chi_C(\Delta^{++})={1\over\sqrt{6}} \varepsilon_{ijk}u_i\, u_j\, u_k \]
\textBlack

(Farbsingulettzustand $1_c$ aus der Darstellung 

\Red{$3_C \otimes 3_C \otimes 3_C = 1_C + 8_C + 8_C + 10_C$).}

\item Hadronischer Wirkungsquerschnitt in der $e^+e^-$-Vernichtung:

\textRed
\begin{eqnarray*}
R &=& \sigma (e^+e^-\to \sum_{q (E_{CM}>2m_q)} q\bar{q})/\sigma (e^+e^-\to\mu^+\mu^-) \\
  &=& N_C \cdot \sum_{q (E_{CM}>2m_q)} Q_q^2 
\end{eqnarray*}
\textBlack

\vspace*{-3.5cm}
\begin{minipage}[c]{\linewidth}

\hspace*{11cm}\includegraphics[width=8cm]{Bilder/Hadr_wirk.eps}

mit $N_C=3=$ Zahl der Farbfreiheitsgrade der Quarks im Gegensatz zu Leptonen.
\end{minipage}

\vfill\eject

\item \begin{minipage}[c]{0.4\linewidth}
	$\Gamma (\pi^0\to\gamma\gamma )\sim N_C^2$.
      \end{minipage}
      \begin{minipage}[c]{0.6\linewidth}
	\includegraphics[width=7cm]{Bilder/Pi0.eps}
      \end{minipage}
\item Renormierbarkeit der GSW-Eichfeldtheorie der elektro\-schwachen Wechselwirkung:

Aufhebung divergenter Terme in h\"oherer Ordnung der  St\"orungstheorie, bei denen 2 Vektorstr\"ome und
1 Axialvektorstrom koppeln (sog.\ Dreiecks-Anomalien), 
zwischen Lepton- und Quark-Beitr\"agen, falls gilt:

\begin{minipage}[c]{0.7\linewidth}
\textRed
\[ \sum_f Q_f ({\mathrm L-Dubletts}) = 0. \]
\textBlack
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.3\linewidth}
	\includegraphics[width=5cm]{Bilder/Dreiecksanomalie.eps}
\end{minipage}


Dies ist m\"oglich, wenn Lepton- und Quark-Dubletts der schwachen WW in jeder Familie gepaart sind,
d.h.\ gleiche Anzahl, und die Quarks jeweils in 3 Farben auftreten:

\textRed
\[ \sum_f Q_f = \sum_\ell Q_\ell + N_C\cdot\sum_q Q_q = 3\cdot (-1 + N_C\cdot {1\over 3}) = 0. \]
\textBlack

D.h.\ Verkn\"upfung zwischen Leptonen und Quarks und zwischen 
den Eichtheorien der elektroschwachen und der starken WW: $SU(2)_L$ und $SU(3)_C$!

\end{enumerate}

\vfill
\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
